如何用像 Kind-Lang 这样的纯函数语言用代数数据类型对 Int 类型进行编码？

Question

在 Kind-Lang 等函数式语言助手中，自然数通常被形式化为具有两个构造函数的递归代数数据类型：zero 和 succ：

type Nat {
  zero
  succ(pred: Nat)
}

至于 Int 类型，它也包含负数，在 Kind 上编码的最佳方式是什么？

Answer 1

对 Int 类型进行编码的一种简单方法是创建一对 Nat 和一个符号。例如：

Int: Type
  Pair<Bool, Nat>

不过，这个定义有一个问题：它包含两个零（-0 和 +0），因此，为了与传统的 Int 集同构，我们需要考虑要递增的数字当符号为负时加 1。比如{false, 2}代表-3，{false, 3}代表-4，以此类推。

Agda 使用类似的编码，而不是Bool，每个符号都有一个构造函数。我们可以将其移植为：

// Int.pos(n) represents +n
// Int.neg(n) represents -(n + 1)
type Int {
  pos(n: Nat)
  neg(n: Nat)
}

这两种表示都有效，但使用它们编写算法和证明定理是复杂且容易出错的。例如这里是add 代表Int：

Int.negate(a: Int): Int
  case a {
    pos: case a.nat {
      zero: Int.pos(Nat.zero)
      succ: Int.neg(a.nat.pred)
    }
    neg: Int.pos(Nat.succ(a.nat))
  }

Int.add(a: Int, b: Int): Int
  case a b {
    pos pos: Int.pos(Nat.add(a.nat, b.nat))
    neg neg: Int.neg(Nat.succ(Nat.add(a.nat, b.nat)))
    pos neg: if b.nat <? a.nat
      then Int.pos((a.nat - b.nat) - 1)
      else Int.neg(b.nat - a.nat)
    neg pos: Int.add(Int.pos(b.nat), Int.neg(a.nat))
  }

在立方语言中经常使用的更好的替代方法是将Int 表示为商。因此，例如，在 Agda 中，我们可以这样写：

data Int : Set where
  mkInt : (pos neg : Nat) -> Int
  canon : (pos neg : Nat) -> mkInt (suc pos) (suc neg) = mkInt pos neg

这样，我们将整数表示为一对两个 nat，整数由第一个自然数减去第二个自然数表示。因此，例如，mkInt 5 2 代表 3，mkInt 2 5 代表 -3。这种编码的问题是它有很多方法来表示同一个 Int。例如，2 可以表示为mkInt 2 0、mkInt 3 1、mkInt 4 2 等。因此，这种类型不会与整数同构。不过，多亏了第二个参数，因为我们用一个标识相同项的商来扩展该集合。

在 Kind 中，我们没有直商，但是，由于使用自编码来表示底层数据类型，我们能够构建计算构造函数或智能构造函数。这些构造函数与常规构造函数类似，只是在某些情况下，它们不会“卡住”。相反，计算达到规范形式。这样，我们可以以与上面的编码类似的方式对Int 类型进行编码，加上一个导致mkInt (succ i) (succ j) reduce 到mkInt i j 的规则，直到一个大小为零。所以，我们可以这样写：

type Int {
  new(pos: Nat, neg: Nat) with {
    zero zero: new(zero, zero)             // stuck, thus canonical
    zero succ: new(zero, succ(neg.pred))   // stuck, thus canonical
    succ zero: new(succ(pos.pred), zero)   // stuck, thus canonical
    succ succ: Int.new(pos.pred, neg.pred) // non-stuck, thus computes
  }
}

遗憾的是，上面的语法还没有在 Kind 中实现，但是我们可以通过手动编写 Int（和类似类型）的自编码直接构建它们：

Int: Type
  int<P: Int -> Type> ->
  (new: (pos: Nat) -> (neg: Nat) -> P(Int.new(pos, neg))) ->
  P(int)

Int.new(pos: Nat, neg: Nat): Int
  (P, new)
  case pos {
    zero: new(Nat.zero, neg)                     
    succ: case neg {
      zero: new(Nat.succ(pos.pred), Nat.zero)
      succ: Int.new(pos.pred, neg.pred)(P, new)
    }!
  }: P(Int.new(pos, neg))

这个定义有效，让我们有更简单的算法和证明。例如，这里是 Int.add 这个新类型：

Nat.add(n: Nat, m: Nat): Nat
  case n {
    zero: m
    succ: Nat.succ(Nat.add(n.pred, m))
  }

Int.add(a: Int, b: Int): Int
  open a
  open b
  Int.new(Nat.add(a.pos, b.pos), Nat.add(a.neg, b.neg))

注意它只是重复使用Nat.add。与商相比，Int 的证明更加简单，因为 mkInt 3 1 和 mkInt 2 0 在定义上变得相等。

two_is_two: mkInt 3 1 == mkInt 2 0
  refl