Python/SciPy：如何从 CubicSpline 获取三次样条方程

Question

我正在通过一组给定的数据点生成三次样条曲线图：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import interpolate

x = np.array([1, 2, 4, 5])  # sort data points by increasing x value
y = np.array([2, 1, 4, 3])
arr = np.arange(np.amin(x), np.amax(x), 0.01)
s = interpolate.CubicSpline(x, y)
plt.plot(x, y, 'bo', label='Data Point')
plt.plot(arr, s(arr), 'r-', label='Cubic Spline')
plt.legend()
plt.show()

如何从CubicSpline 获得样条方程？我需要以下形式的方程：

我尝试了各种方法来获取系数，但它们都使用了使用不同数据获得的数据，而不仅仅是数据点。

Answer 1

来自the documentation：

c (ndarray, shape (4, n-1, ...)) 每个段上多项式的系数。尾随尺寸与y 的尺寸相匹配， 不包括轴。例如，如果 y 是 1-d，那么 c[k, i] 是 (x-x[i])**(3-k) 在x[i] 和之间的段上的系数 x[i+1].

因此，在您的示例中，第一段 [x₁, x₂] 的系数将在第 0 列中：

• y₁ 将是 s.c[3, 0]
• b₁ 将是 s.c[2, 0]
• c₁ 将是s.c[1, 0]
• d₁ 将是 s.c[0, 0]。

那么对于第二段 [x₂, x₃] 你会得到s.c[3, 1], s.c[2, 1], s.c[1, 1] s.c[0, 1] 代表 y₂、b₂、c₂、d₂，以此类推。

例如：

x = np.array([1, 2, 4, 5])  # sort data points by increasing x value
y = np.array([2, 1, 4, 3])
arr = np.arange(np.amin(x), np.amax(x), 0.01)
s = interpolate.CubicSpline(x, y)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
ax.hold(True)
ax.plot(x, y, 'bo', label='Data Point')
ax.plot(arr, s(arr), 'k-', label='Cubic Spline', lw=1)

for i in range(x.shape[0] - 1):
    segment_x = np.linspace(x[i], x[i + 1], 100)
    # A (4, 100) array, where the rows contain (x-x[i])**3, (x-x[i])**2 etc.
    exp_x = (segment_x - x[i])[None, :] ** np.arange(4)[::-1, None]
    # Sum over the rows of exp_x weighted by coefficients in the ith column of s.c
    segment_y = s.c[:, i].dot(exp_x)
    ax.plot(segment_x, segment_y, label='Segment {}'.format(i), ls='--', lw=3)

ax.legend()
plt.show()

Answer 2

编辑：由于系数可以作为属性访问（请参阅@ali_m 的答案），此处显示的方法不必要地间接。如果有人使用更不透明的库偶然发现这个问题，我会把它留在网上。

一种方法是在感兴趣的节点处进行评估：

coeffs = [s(2)] + [s.derivative(i)(2) / misc.factorial(i) for i in range(1,4)]
s(2.5)
# -> array(1.59375)
sum(coeffs[i]*(2.5-2)**i for i in range(4))
# -> 1.59375

严格来说，节点上不存在高阶导数，但 scipy 似乎返回右单向导数，因此即使它不应该也可以工作。