理解 ScalaZ 中的 FoldLeft

Question

我正在阅读一些关于 ScalaZ 的文章，并且有一个关于理解它的问题。在这个article中，我们泛化了sum函数，抽象出要求和的类型。

def sum[T](xs: List[T])(implicit m: Monoid[T]) = //...

在哪里

trait Monoid[A] 定义如下：

trait Monoid[A] {
  def mappend(a1: A, a2: A): A
  def mzero: A
}

是的，这很清楚。这里的 Monoid 对应于algebraic monoid structure。现在在这个article 中，它对列表进行了抽象。为此，我们定义了以下特征：

trait FoldLeft[F[_]] {
  def foldLeft[A, B](xs: F[A], b: B, f: (B, A) => B): B
}
object FoldLeft {
  implicit val FoldLeftList: FoldLeft[List] = new FoldLeft[List] {
    def foldLeft[A, B](xs: List[A], b: B, f: (B, A) => B) = xs.foldLeft(b)(f)
  }
}

所以现在我们可以定义 sum 函数如下：

def sum[M[_]: FoldLeft, A: Monoid](xs: M[A]): A = {
  val m = implicitly[Monoid[A]]
  val fl = implicitly[FoldLeft[M]]
  fl.foldLeft(xs, m.mzero, m.mappend)
}

我不是理论类别专家，但对我来说它看起来像 Applicative functor。那是对的吗？我们能否提供与类别理论的这种相似性。

Answer 1

Applicative 函子是一个类型类，有两个操作：A => F[A] 和 F[A => B] => F[A] => F[B]。您提到的所有操作都没有这样的签名。 FoldLeft 更像Foldable。这是一个不同类型的类，是Traversable（又名Traverse）的父类。而Traversable 与Applicative 相连。

trait Functor[F[_]] {
  def fmap[A, B](f: A => B)(fa: F[A]): F[B]
}

trait Applicative[F[_]] extends Functor[F] {
  def pure[A](a: A): F[A]
  def ap[A, B](ff: F[A => B])(fa: F[A]): F[B]
  override def fmap[A, B](f: A => B)(fa: F[A]): F[B] = ap(pure(f))(fa)
}

trait Foldable[T[_]] {
  def foldr[A, B](op: A => B => B)(seed: B)(ta: T[A]): B =
    (foldMap(op)(ta) _)(seed)
  def foldMap[A, M](f: A => M)(ta: T[A])(implicit monoid: Monoid[M]): M =
    foldr[A, M](a => m => monoid.append(f(a), m))(monoid.empty)(ta)
}

trait Traversable[T[_]] extends Functor[T] with Foldable[T] {
  def traverse[F[_]: Applicative, A, B](k: A => F[B])(ta: T[A]): F[T[B]] = 
    sequence[F, B](fmap[A, F[B]](k)(ta))
  def sequence[F[_]: Applicative, A](tfa: T[F[A]]): F[T[A]] = 
    traverse[F, F[A], A](fa => fa)(tfa)
  override def fmap[A, B](f: A => B)(ta: T[A]): T[B] = traverse[Id, A, B](f)(ta)
  override def foldr[A, B](op: A => B => B)(seed: B)(ta: T[A]): B =
    (traverse[Const[B => B]#λ, A, B](op)(ta) _)(seed)
  override def foldMap[A, M: Monoid](f: A => M)(ta: T[A]): M =
    traverse[Const[M]#λ, A, M](f)(ta)
}

type Id[A] = A

trait Const[C] {
  type λ[A] = C
}

类型类Functor 意味着你有一个“容器”F[_] 并且你知道如何在这个容器中应用函数f: A => B。类型类Applicative 意味着您知道如何将值a: A 打包到此容器中，以及如何将“函数”F[A => B] 应用于“值”F[A]。 Foldable 表示您知道如何使用二元运算 A => B => B 和起始值 B 和接收结果 B 折叠容器。 Traversable 意味着你知道如何遍历你的容器在每个“节点”中执行应用效果A => F[B]。