OpenGL自定义转换麻烦

Question

我正在尝试使用投影变换投射阴影。但似乎 OpenGL 不喜欢我的矩阵，因为它在glMultMatrix 之后没有绘制任何东西。弹出矩阵后，一切正常。 我也在使用 JOGL，可能是这个问题，但我对此表示怀疑，因为我的自定义平移和旋转矩阵工作正常。

矩阵如下所示：

lightPosition = {x, y, z, 1}
planeEquation = {a, b, c, d}
pl = a*x + b*y + c*z + d

a*x-pl  b*x     c*x     d*x
a*y     b*y-pl  c*y     d*y
a*z     b*z     c*z-pl  d*z
a       b       c       d-pl

现在这是我计算的矩阵，但我还使用了我在互联网上搜索的其他两种口味；一个有点不同，另一个和我的时间 -1 完全一样。 这是足够的信息吗？还是我也应该提交代码？

也许这是我的平面方程？

three points on plane = p0, p1, p2

v0 = p1 - p0
v1 = p2 - p0

n = {a, b, c} = v0 (cross) v1
d = -(n (dot) p0)

planeEquation = {a, b, c, d}

有没有人觉得很熟悉？还是只是代码？

编辑：我正在尝试进行此测试，并使用和不使用矩阵（对于 x-z 平面和 {0, 20, 0} 聚光灯）绘制单个顶点，并使用正交投影矩阵。此外，我正在尝试通过获取 OpenGL 的投影和模型视图矩阵并将其与它们相乘，并使用 w 坐标进行归一化，从而为自己计算出该顶点的归一化设备坐标。

我得到的是，没有我的“阴影矩阵”，它可以很好地显示点，而且我对顶点的计算似乎与我所看到的相匹配。但是对于我的“阴影矩阵”，我什么也得不到，尽管顶点的坐标位于所有轴上的 [-1,1] 范围内。

这太奇怪了……

编辑：在此处添加测试程序：https://gist.github.com/e0c54d5ab3cbc92dffe6

Answer 1

您可能只是将传递给 OpenGL 的矩阵转置。 OpenGL 的矩阵索引起初有点违反直觉（不过，如果您将矩阵理解为列向量的行向量，这很有意义）OpenGL 索引如下：

0 4 8 c
1 5 9 d
2 6 a e
3 7 b f

相对于C排大调

0 1 2 3 
4 5 6 7
8 9 a b
c d e f

Answer 2

想通了（这是问题的作者）。这只是一个错字，我没有计算飞机在正确方向上的法线...... 这不像我说的那样（v0 X v1）它是偶然的（v1 X v0）。您可以在代码中看到它。所以，如果飞机是相反的方向，你就不能在上面投影。

因为这是一个愚蠢的错误。对于所有想知道平面上的矩阵投影背后的数学的人，我将尝试对其进行解释：

在开始之前，我假设对线性代数有一点粗略的了解。不需要太多。

假设我们有一个带有法线 N 的平面，上面有一个点 Q。对于每个点 P，当（且仅当）P 在平面上时，(P-Q).N=0（这是一个点积），因为向量 (P-Q) 和 N 是垂直的。

现在假设我们还有一个（固定聚光灯）点 S。我们想从那个聚光灯在我们的平面上投影一个点 P。这意味着我们希望找到点 R，它位于由点 P 和 S 定义的直线上的某处，并且也在平面上。换句话说，找到一个标量 t，使得S+t(P-S)=R，使得 R 在平面上。 (P-S) 是从聚光灯经过点 P 的方向向量。我们在该向量上“行走”一定量 t，从点 S 开始，直到我们降落在平面上。

从两段前，我们学到了一个很好的技巧来判断一个点是否在平面上。因此，如果我们在 R 上应用它，我们会得到 R 在平面上当（且仅当）：

N.(R-Q)=0  
N.R-N.Q=0  
N.R=N.Q  
N.(S+t(P-S))=N.Q  
N.S+tN.(P-S)=N.Q  
t=(N.Q-N.S)/(N.(P-S))

现在，如果我们把它放回 R 的定义中：

R=S+(N.Q-N.S)*(1/(N.(P-S))*(P-S)

让我们将N.(P-S)定义为k

kR=(N.(P-S))*S+(N.Q-N.S)*P-(N.Q-N.S)*S  
kR=(N.P)*S+(N.Q-N.S)*P-(N.Q-N.S)*S-(N.S)*S    
kR=(N.P)*S+(N.Q-N.S)*P-(N.Q)*S  

让我们提醒自己我们知道什么，我们不知道什么，以及我们想知道什么。我们知道 N 和 Q 和 S。P 给了我们，我们想找到 R。换句话说，我们想表达 R 给定 P，并使用 N、Q 和 S。让我们继续分解一下进一步，

kR=(N_x*P_x+N_y*P_y+N_z*P_z)*S+(N.Q-N.S)*P-(N.Q)*S

R 是点，所以让我们用 P 的坐标来定义它的每一个坐标（还有 S，因为他也在等式的右边）。

kR_x=[N_x*S_x+(N.Q-N.S)]P_x+[N_y*S_x]P_y+[N_z*S_x]P_z-(N.Q)*S_x
kR_y=[N_x*S_y]P_x+[N_y*S_y+(N.Q-N.S)]P_y+[N_z*S_y]P_z-(N.Q)*S_y  
kR_z=[N_x*S_z]P_x+[N_y*S_z]P_y+[N_z*S_z+(N.Q-N.S))]P_z-(N.Q)*S_z  

看起来我们没有得到任何东西，因为我们得到了左边的 k，我们仍然需要除以它（而且 k 是由 P 定义的！）。不用担心，因为 OpenGL 使用四个元素向量而不是三个。最后第四个元素用于平移矩阵和透视深度插值。对于我们现在的需求，我们只需要知道 openGL 将每个顶点的坐标除以它的第四个元素。这意味着可怕的 k 是我们的第四个元素。我们得到：

R_w=k  
R_w=N.(P-S)  
R_w=N.P-N.S  
R_w=[N_x]P_x+[N_y]P_y+[N_z]P_z-N.S  

好的，我们通过 P 定义了我们的 R，使用 N、S 和 Q。让我们把它放在一个矩阵 M 中。我们想要：

M*P=R

所以，

M=
N_x*S_x + (N.Q-N.S),  N_y*S_x,             N_z*S_x,             -(N.Q)*S_x 
N_x*S_y,              N_y*S_y + (N.Q-N.S), N_z*S_y,             -(N.Q)*S_y
N_x*S_z,              N_y*S_z,             N_z*S_z + (N.Q-N.S), -(N.Q)*S_z
N_x,                  N_y,                 N_z,                 -(N.S)

看着这个，请记住，因为 P 是一个点，所以它的第四个元素是 1。（准确地说，！=0，但我们可以假设它是一个设备标准化顶点）

关于平面方程。平面方程是一个向量，它的前三个元素作为法线。它的第四个元素是它与原点的有符号距离。另一种计算平面到原点距离的方法是：

给定平面上的点Q，法线为N，平面到原点的距离为|N.Q|

很简单，对吧？这是正确的，因为：

N.Q=|N|*|Q|*cos(N,Q) 

和|N|=1，给我们：

N.Q=|Q|*cos(N,Q)=|Q|*d/|Q|=d

其中 d 是从原点到平面的距离。或者，它是向量 N 的大小； N的大小是从原点到平面的距离的大小。您可以通过绘制平面，选择平面上的某个点 Q，绘制从原点延伸到平面的法线 N，并查看由两个向量和平面组成的线组成的三角形。

在上面的矩阵中，将 -N.Q 替换为 d（平面方程中的最后一个元素），就完成了。 (d = -N.Q)。给定点 P 的矩阵会将其从 S 定义的聚光灯投射到 N 和 Q 定义的平面上。

希望能教会你一些新的东西。如果我犯了错误，请发表评论，我会修复它。