将法线向量给定的平面坐标映射到 XY 平面

Question

所以，我有这个算法来计算 3D 形状的横截面，平面由法线向量给出。

但是，我目前的问题是，横截面是一组 3D 点（都位于该给定平面上）并且要显示它，我需要将此坐标映射到 XY 平面。

如果平面法线类似于 (0,0,c)，这将非常有效 - 我只是复制 x 和 y 坐标而丢弃 z。

这是我的问题：由于我不知道如何转换任何其他纯文本，任何人都可以给我任何关于我现在应该做什么的提示吗？

Answer 1

您的窗格由法线向量定义

n=(xn,yn,zn)

对于协调变换，我们需要 2 个基向量和一个用于窗格的零点

基向量

我们选择了那些“自然”适合 x/y 窗格的（见后面的边缘情况）：

b1=(1,0,zb1)
b2=(0,1,zb2)

我们想要

b1 x b2 = n*c (c const 标量)

确保这两个是真正的基础

现在解决这个问题：

b1 x b2= (0*zb2-zb1*1,zb1*0-1*zb2,1*1-0*0) = (zb1,zb2,1)
zb1*c=xn
zb2*c=yn
1*c=zn

c=zn,
zb2=yn/c=yn/zn
zb1=xn/c=xn/zn

b1=(1,0,yn/zn)
b2=(0,1,xn/zn)

并将其标准化

bv1=(1,0,yn/zn)*sqrt(1+(yn/zn*yn/zn))
bv2=(0,1,yn/zn)*sqrt(1+(xn/zn*xn/zn))

一个边缘情况是，当 zn=0 时：在这种情况下，法线向量平行于 x/y 窗格并且不存在自然基向量，在这种情况下，您必须通过审美 POV 选择基 b1 和 b2 向量并通过相同的解决方案过程或只是选择 bv1 和 bv2。

零点

您在 OQ 中提到您的窗格没有锚点，但有必要将您的窗格与无限的平行窗格系列区分开来。

如果您的锚点是 (0,0,0)，这是坐标转换的完美锚点，并且您的窗格具有

x*xn+y*yn+z*zn=0,
(y0,y0,z0)=(0,0,0)

如果没有，我假设你有一个锚点 (xa,ya,za) 并且你的窗格有

x*xn+y*yn+z*zn=d

带有 d const 标量。自然拟合将是窗格的点，它由原始零点在窗格上的法线投影定义：

P0=(x0,y0,z0)

与

(x0, y0, z0) = c * (xn,yn,zn)

解决这个问题

x*xn+y*yn+z*zn=d

给予

c*xn*xn+c*yn*yn+c*zn*zn=d

和

c=d/(xn*xn+yn*yn+zn*zn)

因此

P0=(x0,y0,z0)=c*(xn,yn,zn)

找到了。

最终转化

通过将窗格的每个点（即您要显示的点）表示为

来实现

P0+x'*bv1+y'*bv2

x' 和 y' 是新坐标。因为我们知道 P0、bv1 和 bv2，所以这很简单。如果我们不在边缘情况下，我们在 bv1.y 和 bv2.x 中有零，进一步减少了问题。

x' 和 y' 是你想要的新坐标。