排列秩算法答案

【问题标题】：Permutation rank algorithm排列秩算法
【发布时间】：2012-02-19 01:02:31
【问题描述】：

我正在努力寻找有效的算法来计算排列的等级，反之亦然（给定等级的排列）。有人可以指点一下吗？

【问题讨论】：

这里stackoverflow.com/a/8958309/312172 我做了一个图形，说明问题，并以一种方式给出解决方案。如果您查看右侧的related 问题列表，您会发现许多重复项。

标签： algorithm combinatorics

【解决方案1】：

数组中有重复的元素吗？

如果只有唯一元素，则以下递归将X[m:n] 的排名计算为长度n-m+1 的排列：

Rank(X, m:n) = RankOfElement(X[m], X[m:n]) * Factorial(n - m) + Rank(X, (m+1):n)

Rank 和 RankOfElement 都是从零开始的（从 0 开始）。

基本上，Rank(permutation) = Rank(first permutation starting with first letter of permutation) + Rank(permutation with first letter deleted)，例如对于字符串EDCBA，表示Rank(EDCBA) = Rank(EABCD) + Rank(DCBA)。

这可以通过更改第一项扩展到非唯一情况：

Rank(X, m:n) = Rank(X, (m+1):n) + ∑ over (y ∈ X[m:n], y

【讨论】：

【解决方案2】：

编辑

我刚刚看到你的评论。漂亮的图形！你想要的是树遍历。

注意排列中的每个位置如何在树中具有不同的级别？从根到该树中叶节点的每条路径都是可能的排列。

所以这意味着您的“等级”具有一定的灵活性。你要定义它。只需在树上进行任何类型的遍历（顺序、前序、后序、DFS、BFS），即可在您直接通过每个叶节点时为您提供叶节点的编号。

因此，只需选择您的排列的遍历和排名，使其成为您认为对您的应用程序最自然或最方便的任何内容。如果无法选择，请询问 /dev/random 应该使用哪种遍历。

结束编辑

首先必须将其视为基本转换。每个排列都在一个点（它的等级）。想想二进制。计算 n 个字符的 2 个字母排列的有效算法是什么？只需分配等级，您就有排列。

同样的事情也适用于其他大小的字母。显然，如果你的职位有不同大小的字母，事情会更复杂，但你仍然可以做组合：

total possible = pi(|a|_i) for all i in positions

|a|_i alphabet size at position i

and assuming all |a|_i are equal to b you have

rank of permutation = sigma(b**i * a_i)

a_i is actual alphabet character chosen at position i.

So over the 5 alphabet (ABCDE) 

The rank of AAAAA = 0 (or 1)
The rank of EEEED = 5**6 - 2

然后要从排名中获得排列，只需使用基数公式：我似乎记得：

a_i = (P % b**(i+1) - P & (b**i))/(b**i)

如果您从组合和基数的角度考虑它，即使在更复杂的情况下，您也不会出错。只需采用您想要的任何等级并将其转换为适合您的字母表的基础。你可能对Mixed Radix Conversion on Wikipedia, here感兴趣

【讨论】：