究竟是什么意思“函子内的功能”

Question

在范畴论中，函子是两个范畴之间的同态。在 Haskell 中，据说 applicative functor 允许我们在 “inside a functor” 中应用函数。是否可以将“函子内的函数”这句话翻译回数学或提供其他一些见解？ （我知道函子可以是Maybe、[] 等，但仍然很难理解这个概念。）

Answer 1

我的范畴论一点都不强（我是从 Haskell 的编程方面开始的，最近一直在尝试学习它的一些概念的范畴论基础）。但这是我所拥有的：

在 Haskell 中，函子是类型构造函数，这意味着它从一般类型映射到“函子中的类型”。

在范畴论中，函子从一个范畴的对象映射到另一范畴的对象。

在将类别理论应用于 Haskell 时，我们假设我们正在使用类别 Hask，即 Haskell 类型的类别。

所以 Haskell 函子不是一般范畴论的函子；它们都从 Hask 映射到 Hask 的子类别（因为某些函子 f 的类型 f a 和任意类型 a 仍然是 Haskell 类型）。例如，Maybe 函子将 Hask 中的对象（类型）映射到 Maybe a 形式的类型类别。

函数在 Haskell 中是一等的，所以函数类型是完全普通的类型（并且是 Hask 的对象），所以仿函数也将函数类型映射到“函数类型在函子”。因此，短语“函子内的函数”是一种类型中 value 的简写，该类型是通过将函子应用于函数类型而产生的。例如Just (+1) 是Maybe (Int -> Int) 类型中的一个特定值，它是Maybe 函子将对象Int -> Int 映射到的对象（类型）。

因此，“应用函子”是具有一些额外规则的函子，这些规则足以获取 值，这些值是函子“目标”类别的对象类型中的函数，并应用那些值到目标类别中类型中的其他值。

再次以Maybe 为例，如果我们只知道它是一个函子，它为我们提供了对象Int -> Char 和Maybe (Int -> Char) 之间以及对象Int 和Maybe Int 之间以及对象之间的对应关系对象Char 和Maybe Char。但是虽然我们有能力在Int -> Char 和Int 中获取一个值并在Char 中产生一个值，但Maybe 作为一个函子并不能保证我们有能力进行一些相应的操作具有Maybe (Int -> Char) 中的值和Maybe Int 中的值。

当我们也知道它是一个应用函子时，我们确实有能力在Maybe (Int -> Char) 中获取一个值，在Maybe Int 中获取一个值并在Maybe Char 中生成一个值，这满足应用程序的某些属性将Int -> Char 值转换为Int 值。

据我所知，从纯范畴论的角度来看，应用函子并不是很有趣。这可能是因为范畴论关注的是 objects 之间的关系，这对应于 Haskell 中的类型，但从编程的角度来看，应用函子是由这些类型中的 值 之间的关系驱动的? （我们希望使用仿函数获得的“函数类型”中的值仍然能够应用于事物进行计算）。

Answer 2

翻译回数学

在一个封闭的幺半群范畴中，有一个“指数”的概念，它“内化”了态射关系。然后，您可以评估这些指数。也就是说，你有一种说法（请原谅我的想法，Stackoverflow 缺少 mathjax）

eval : (a ~> b,a) -> b

以及用于柯里化和非柯里化的元操作。
“应用函子”以“适用”方式映射指数，F (a ~> b) 可以与F a 组合得到F b。这是因为应用函子是单曲面函子，所以它们有一个操作（在目标类别中）

f a -> f b -> f (a,b)

当您还 fmap eval 时，它会从 Haskell 中为您提供 ap。

我怀疑这是否有用，

Haskell

了解应用函子的最佳方法是查看类型

class Functor f => Applicative f where
  pure :: a -> f a
  <*>  :: f (a -> b) -> f a -> f b

简单的例子是

newtype Id a = Id a
instance Applicative Id where
  pure a = Id a
  Id f <*> Id a = Id (f $ a)

Id 也是一个Monad。事实上，所有Monads 都是Applicative。

pure = return
mf <*> mx = do f <- mf
               x <- mx
               return (f x)

一个更有趣的例子是无限序列

data Seq a = Seq a (Seq a)
instance Applicative Seq where
  pure a = Seq a (pure a)
  (Seq f fs) <*> (Seq x xs) = Seq (f x) (fs <$> xs)

您可以认为这相当于列表中的zipWith $。所有Monads 都是Applicative，但我认为无限序列很有趣，因为相应的 monad 实例......不明显（而且相当慢）。它将作为练习留给读者（顺便说一句，我正在从我记得读过的东西中锻炼这个例子/练习，我认为 pigworker 写在这个网站上）。