根据距离从三角形点构建地理地图

Question

我在网格上随机放置了 5 个 {x,y} 点

每个点不知道其他点的 {x,y} 坐标

每个点知道其他每个点到它们的 {x,y} 位置的距离

每个点都与其他点交换距离信息

所以每个点都知道每个其他点的距离

使用此距离信息，每个点都可以计算（通过找到角度）以自身为参考点的每个其他点的三角形

例如，点 1 可以计算出以下三角形： 1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, 1-3-4, 1-3-5, 1-4-5, 并使用从其他点收到的距离数据，它还可以计算 2-3-4, 2-3-5, 2-4-5, 3-4-5

我想建立一个相对于单个点的其他每个点的位置地图

我该怎么做呢？我假设这将是某种三角测量算法，但这些似乎主要是从其他三个点计算一个点的位置，而不是仅根据距离信息发现其他点 {x,y} 坐标的其他方式.

我尝试为每 3 个三角形点绘制两个可能的三角形，然后在固定的已知点上旋转它们以尝试对齐它们，但我认为这条途径最终会带来太多的可能性和错误

最终我希望每个点都以 {x,y} 坐标结束，每个其他点都相对于自身

Answer 1

你知道一个点到另一个点的距离，dij。因此，点 2 位于中心点 1 的圆周上，半径 = d12。点 3 位于中心点 1 的圆周上，R=d13，它也位于中心点 2 的另一个圆周上，R=d23。

看这张图：

为简单起见，我在 X 轴上设置了点 2。

如您所见，点 3 位于以 P1 和 P2 为中心的两个圆的交点上。还有第二个路口P3a。让我们选择向上的那个并继续。

对于P4，我们可以使用三个圆周，以 P1、P2 和 P3 为中心。我们再次得到两个解决方案。

可以对其余的点进行相同的处理。对于Pn，您有n-1 周长。
我相信您可以找到圆与圆相交的数学运算。

必须遵守一些注意事项：
1) 如果您首先按到P1 的距离对点进行排序，则构造会更简单。
2) 并非所有距离都能产生解决方案。例如，增加d13 并且P3 的两个圆周之间没有交集。或者增加d14，现在三个圆周不相交于两个预期点4 和4a。
3) 通过考虑交叉点的平均值以及从每个解决方案到该平均值的距离，这个事实可能会被过度使用。您可以在这些距离中设置容差，并判断平均值是否为解决方案，否则某些dij 是错误的。由于可能有两种解决方案，因此您必须考虑两个平均值。
4) 在我绘制的情况下，两个可能的三角剖分在 X 轴上是对称的。

真正的解是通过围绕P1 旋转得到的。要计算旋转角度，您需要另一个点的{x,y} 坐标。