在小于 O(n^2) 的时间内最大化给定方程答案

【问题标题】：Maximise the given equation in less than O(n^2)在小于 O(n^2) 的时间内最大化给定方程
【发布时间】：2015-08-02 17:51:45
【问题描述】：

给定一个数组如何求最大值

    (ar[j]-ar[i]-1)*(min(ar[i],ar[j]))

时间 O(n) 或 O(nlogn)

【问题讨论】：

为什么认为这是可能的？还有——是否对数字有任何限制，例如全部为正数？
是的，数组的元素都是正数。这是以前的奥林匹克问题，因此可以做到。我忘记了几年前看到的解决方案。
好吧——我没有强烈的直觉认为这是不可能的，但我不相信这是可能的。如果数字都是正数，那么-1 是多余的，因为表达式在同一对索引处最大化，这使表达式在删除负 1 的情况下最大化（至少在所有数字不相同的情况下）。我不确定这有什么帮助，但更简单的表达式通常更容易优化。

【解决方案1】：

如果输入总是非负数，那么除了ar 的最大元素之外，没有任何意义作为ar[j]；任何不使用ar[j] 的产品都可以通过使用ar[j] 来增加。因此，我们可以在O(n)时间找到最大值，并在O(n)时间对ar[i]的所有可能值进行尝试以解决问题。

如果不要求输入为非负数，则最大乘积必须使用最大ar[j] 或最小ar[j]。同样，我们可以找到最大值和最小值，并针对所有可能的ar[i] 值进行尝试。

【讨论】：

很抱歉，但我不确定在 O(n) 时间找到 i，因为它似乎需要乘法：en.m.wikipedia.org/wiki/…
@SamBurns：对我来说似乎很清楚我们假设的是恒定时间算术。如果我们不是，那么我们假设可变大小的整数，在这种情况下输入可能大于O(n^2)（其中n是输入元素的数量），我们不会有希望及时解决问题。无论如何，我们不需要乘法来找到i；对于固定的j，要最大化的表达式是一个简单的二次方。我们可以找到顶点一次并选择最接近该顶点的i。
是的，你完全正确。忽略我，改为执行以下操作：通过在O(n) 时间内遍历数组一次，为ar[j] 选择可能的最高值。然后找到最接近(ar[j] - 1)/2) 的ar[i] 的值，再次在O(n) 时间，为您的表达式在O(n) 时间总体上给出可能的最高值。