如何计算第 n 次 NLBGS 迭代的迭代矩阵

Question

我想知道是否有直接的方法可以在 OpenMDAO 中计算第 n 次线性块高斯塞德尔迭代的迭代矩阵？

谢谢

Answer 1

如果我理解正确，您指的是高斯赛德尔算法的矩阵形式，其中您取 Ax=b，并将 A 分解为对角线 (D)、下 (L) 和上 (U) 部分，然后使用这些部分来计算下一次迭代。 具体来说，您计算 [D-L]^-1。我相信这就是您所说的“迭代矩阵”（我不熟悉这个术语，但基于 algorithm 我很乐意做出有根据的猜测）。

算法的这种表述是有用的，也是一种实现它的简单方法，但 OpenMDAO 采用了不同的方法。 OpenMDAO 中实现的 LBGS 算法设置为以无矩阵方式工作。这意味着它只与线性运算符方法solve_linear 和apply_linear 交互，并且根本不会显式组装 A 矩阵。因此，没有机会将 A 拆分为 D、L、U。

根据您构建模型的方式，您需要的 A 矩阵可能存在也可能根本不存在，因为 OpenMDAO 能够在完全无矩阵的上下文中工作。但是，如果所有您的组件都使用compute_partials 或linearize 方法来提供偏导数，那么A 矩阵所需的数据确实存在于内存中。

您将不得不对其进行深入研究，具有讽刺意味的是，了解如何做到这一点的最佳位置是在 direct solver 中，这实际上需要形成矩阵来计算分解.

此外，在该代码中，您将看到 a function 可以迭代调用线性运算符来构造密集矩阵，即使底层组件不直接提供其部分。请注意，这种组装矩阵的方法非常慢，不建议用于正常操作。