最小化测量误差时姿态估计的不确定性

Question

假设我想估计给定图像 I 的相机姿势，并且我有一组测量值（例如 2D 点 u_i 及其相关的 3D 坐标 P_{i) 我想最小化误差（例如平方重投影误差的总和）。}

我的问题是：如何计算最终姿势估计的不确定性？

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为了使我的问题更具体，考虑一个图像I，我从中提取了 2D 点 u_i 并将它们与 3D 点 P_i 进行匹配。 T_w 表示此图像的相机位姿，我将对其进行估计，pi_T 表示将 3D 点映射到其投影的 2D 点的变换。这里有一张小图来澄清一些事情：

我的目标陈述如下：

有几种技术可以解决相应的非线性最小二乘问题，考虑我使用以下（高斯-牛顿算法的近似伪代码）：

我在几个地方读到 J_r^T.J_r 可以被认为是姿态估计的协方差矩阵的估计。 以下是更准确的问题列表：

1. 谁能解释为什么会这样和/或知道详细解释这一点的科学文件吗？
2. 我应该在最后一次迭代中使用 J_r 的值还是应该使用连续的 J_r^T.J_r 以某种方式组合？
3. 有人说这实际上是对不确定性的乐观估计，那么估计不确定性的更好方法是什么？

非常感谢，任何对此的见解将不胜感激。

Answer 1

完整的数学论证相当复杂，但简而言之，它是这样的：

1. 重投影误差的雅可比矩阵在最佳时间本身的外积 (Jt * J) 是最小二乘误差的 Hessian 矩阵的近似值。该近似在最优时忽略了误差函数的泰勒展开中的三阶和更高阶项。请参阅here（第 800-801 页）以获取证据。
2. Hessian 矩阵的逆矩阵是在参数到误差变换的局部线性近似下（参考以上第 814 页），参数最优值邻域中重投影误差的协方差矩阵的近似值。

我不知道“乐观”的评论来自哪里。近似的主要假设是成本函数（reproj.error）在最优值的小邻域中的行为近似二次。