MATLAB 中微分实现的差异

Question

我试图找到特定点的（数字）曲率。我将数据存储在一个数组中，我基本上想在每个单独的点找到局部曲率。我四处搜索，在 MATLAB 中找到了三种不同的实现：diff、gradient 和 del2。

如果我的数组名称是arr，我尝试了以下实现：

curvature = diff(diff(arr));
curvature = diff(arr,2); 
curvature = gradient(gradient(arr)); 
curvature = del2(arr); 

前两个似乎输出相同的值。这是有道理的，因为它们本质上是相同的实现。但是，gradient 和 del2 实现给出了彼此不同的值以及来自diff。

我无法从文档中准确了解实现的工作原理。我的猜测是其中一些是某种类型的双边导数，而其中一些不是双边导数。让我感到困惑的另一件事是，我当前的实现仅使用来自arr 的数据。 arr 是我的 y 轴数据，x 轴本质上是时间。这些函数是否默认为 1 或类似的步长？

如果有帮助，我想要一个仅使用 previous 数组元素在当前点获取曲率的实现。对于上下文，我的数据使得基于当前点未来数据的曲率计算对我的目的没有用处。

tl;dr 我需要一个严格的曲率点实现，它只使用点左侧的数据。

编辑：感谢下面的答案，基于此，我更好地理解了正在发生的事情。这就是我所指的：

gradient 计算内部数据点的中心差。 例如，考虑一个具有单位空间数据 A 的矩阵，它具有 水平梯度 G = 梯度（A）。内部梯度值， G(:,j)，是

G(:,j) = 0.5*(A(:,j+1) - A(:,j-1));下标j在2之间变化 和 N-1，其中 N = size(A,2)。

即便如此，我还是想知道如何进行“左手”计算。

Answer 1

diff 只是 arr 中两个相邻元素之间的差异，这就是为什么你会因为使用 diff 一次而丢失 1 个元素的原因。例如，一个数组中的 10 个元素只有 9 个不同。

gradient 和 del2 用于导数。当然，您可以使用 diff 通过将差异除以步骤来近似导数。通常，该步骤是等距的，但并非必须如此。这回答了您为什么在计算中不使用 x 的问题。我的意思是，你的 x 不是等间距的也没关系。

那么，为什么梯度会给我们一个与原始数组长度相同的数组呢？手册中清楚地解释了边界是如何处理的，

沿矩阵边缘的梯度值是用单边差计算的，所以

G(:,1) = A(:,2) - A(:,1);

G(:,N) = A(:,N) - A(:,N-1);

Double-gradient 和 del2 不一定相同，尽管它们高度相关。这完全是因为您如何计算/近似二阶导数。不同的是，前者通过两次一阶导数逼近二阶导数，而后者直接逼近二阶导数。请参考帮助手册，公式均有记载。

好的，你真的想要 arr 上每个点的曲率或二阶导数吗？它们非常不同。 https://en.wikipedia.org/wiki/Curvature#Precise_definition

您可以使用 diff 从左侧获得二阶导数。由于 diff 从右到左取差异，例如x(2)-x(1)，可以先从左到右翻转x，然后使用diff。一些代码，例如，

x=fliplr(x)
first=x./h
second=diff(first)./h

其中 h 是 x 之间的空间。请注意，我使用 ./，它表示 h 可以是一个数组（即非均匀间隔）。