从阴影中正确使用 fft2 和 fftshift

Question

我正在尝试从 Trucco/Verri 文本“3d 计算机视觉介绍技术”中看到的着色算法重新创建经典形状，但我很难理解 matlab 中的 fft 函数。本质上，我需要使用可积性约束来获得图像的深度（Z）。我不确定在这种情况下何时使用 fftshift。这是我到目前为止的代码。基于http://www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/view_thread/285244 我基本上将我所有的 fft2 都包裹在 fftshifts 中，但我认为这不是正确的用法。有人可以向我解释一下用法和我做错了什么吗？谢谢你。基本上，我试图将我的 p 和 q（基于像素强度的更新值）转换为傅立叶域，以便在等式 C 中使用它们。然后我想将等式 C 转换回时域，因为这会给我 Z 的深度。我还想根据傅里叶域中的 C 更新 P 和 Q。

    wx = (2.* pi .* x) ./ m; 
    wy = (2.* pi .* y) ./ n; 
    wx = ifftshift(wx); wy=ifftshift(wy);

    Cp = fftshift(fft2(fftshift(p))); 
    Cq = fftshift(fft2(fftshift(q)));
    C = -1i.*(wx .* Cp + wy .* Cq)./(wx.^2 + wy.^2); 
    Z = abs((ifft2(ifftshift(C)))); 
    p = ifftshift(ifft2(ifftshift(1i * wx .* C))); 
    q = ifftshift(ifft2(ifftshift(1i * wy .* C)));

Answer 1

这是一个棘手的问题，因为通常没有正确答案。虽然可能有一些错误的答案。我会尽力解释。如果答案有点冗长，您可以直接跳到摘要部分，看看是否有帮助。

陷阱

问题 #1：

当您使用 Matlab 的 fft（或在您的情况下为 fft2）函数时，输出的第一个元素（在您的情况下为 X(1,1)）表示 DC bias。如果您随后在输出上调用fftshift，则一切都会以将直流偏置置于中心的方式移动。在二维情况下，它看起来像这样：

请注意，位于块 1 左上角的点被移动到了中心。虽然这是数据的完全有效表示，但我们必须小心，因为我们已经改变了 (1,1) bin 的含义。如果我此时尝试进行逆变换，输出将是错误的！

B = ifft2(fft2(A));            % B is equal to A
C = ifft2(fftshift(fft2(A)));  % C is not equal to A

问题 #2：

ifftshift 函数应该被认为是fftshift 操作的逆函数。不应将其视为适用于ifft 操作的转变。出于这个原因，我觉得函数名很容易误导。

根据我的经验，ifftshift 最常见的是 fft/ifft 函数，fftshift 跟随 fft/ifft功能。事实上，我什至会说，如果你发现自己在做以下事情之一，那么你可能犯了一个错误：

B = ifftshift(ifft(A));        % Don't do this
C = fft(fftshift(A));          % Don't do this either

在Matlab documentation for ifftshift中可以找到以下有用的说明

注意：ifftshift 将撤消fftshift 的结果。如果矩阵X包含奇数个元素，则必须做ifftshift(fftshift(X))才能得到原来的X。简单地执行两次fftshift(X) 不会产生X。

例如：

B = ifftshift(fftshift(A));    % B is equal to A
C = fftshift(fftshift(A));     % C is not equal to A

问题 #3：

DFT 有许多有趣的性质，其中之一是实偶数序列的 DFT 是实偶数。我们通常可以将此事实用作简单的健全性检查。如果我们在fft 函数中放入一个真实的、偶数的序列并取回一些不真实的偶数，我们就有问题了。

当涉及到 DFT 时，我们必须仔细注意偶函数的样子。序列3 2 1 0 1 2 3 似乎是偶数，对吧？左半边是右半边的镜像。如果序列的第四个元素表示t=0，这将是真。但是，由于 FFT 算法的设置方式，第一个元素始终代表 t=0 元素。

我们可以通过在 FFT 之前执行ifftshift 操作来解决此问题，以便将中心移动到第一个元素。请注意，对于偶数长度的序列，元素x[N/2+1] 被假定为中心。

A1 = [ 3 2 1 0 1 2 3 ];        % A1 real, even sequence about A1(4)
B1 = fft(ifftshift(A1));       % B1 is a real, even sequence
C1 = fft(A1);                  % C1 is _not_ a real, even sequence
abs(B1) == abs(C1)             % B1 and C1 differ only in phase

A2 = [ 0 1 2 3 3 2 1 ];        % A2 real, even sequence about A2(0)
B2= fft(ifftshift(A2));        % B2 is _not_ a real, even sequence
C2= fft(A2);                   % C2 is a real, even sequence
abs(B2) == abs(C2)             % B2 and C2 differ only in phase

正如您在最后一个示例中看到的那样，说“总是使用@是不正确 987654355@ 在fft 之前。”如果我的数据的第一个元素已经是t=0 元素怎么办？那么应用ifftshift 将是错误的事情。

总结

一般来说，ifftshift 只能在应用fft/ifft 之前使用。 fft 和 ifft 函数始终假定数据的第一个元素分别代表 t=0 和 f=0。使用这些函数时，您应该问自己的主要问题是“t=0（或f=0）在我的数据中的什么位置？”和“我希望他们住在哪里？”

一般来说，fftshift 只能在应用fft/ifft 之后 使用。给出这些函数的输出，使得第一个元素分别代表f=0 和t=0。如果您想重新排列数据，使f=0 和t=0 元素出现在中心，那么fftshift 是正确的答案。

如果不更彻底地了解您正在处理的数据究竟代表什么，就不可能说是否需要任何 ifftshift 或 fftshift 函数。请注意，在许多情况下，人们可能会正确使用 fft/fft2 和 ifft/ifft2，而无需调用 fftshift 或 ifftshift。