如何将法线向量绘制到椭圆答案

【问题标题】：How to draw normal vectors to an ellipse如何将法线向量绘制到椭圆
【发布时间】：2014-02-07 02:37:19
【问题描述】：

我如何画一个椭圆，其中的直线长度相同？

用圆圈很容易，我可以写类似的东西

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    drawdot (cos(u), sin(u)) ;
    drawline (cos(u), sin(u), 2*cos(u), 2*sin(u) ;
}

但如果我对椭圆这样做，如下所示，线条的长度不同。

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    drawdot (2*cos(u), sin(u)) ;
    drawline (2*cos(u), sin(u), 4*cos(u), 2*sin(u) ;
}

我如何弄清楚如何使它们的长度相同？

【问题讨论】：

标签： graphics vector calculus

【解决方案1】：

对此有几种思考方式。

你可以把椭圆想象成一个向某个方向拉伸的圆。在本例中，您采用圆 x^2 + y^2 = 1 并将变换应用于该曲线上的所有点：

x' = 2x
y' = y

你可以把它想象成乘以矩阵：

[ 2  0 ]
[ 0  1 ]

要转换法线，您需要应用此矩阵的逆转置（即转置的逆，或逆的转置；这是同一件事）：

[ 1/2  0 ]
[  0   1 ]

（顺便说一下，这被称为先前变换的对偶。这是现代几何中非常重要的操作。）

圆在点 (x,y) 的法线朝向 (x,y) 方向。因此，椭圆在点 (2x,y) 的法线方向为 (0.5*x,y)。这表明：

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    x = cos(u); y = sin(u);
    drawdot (2*x, y) ;
    drawline (2*x, y, 2*x + 0.5*x, y+y);
}

或者如果你需要一个正常的单位：

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    x = cos(u); y = sin(u);
    drawdot (2*x, y) ;
    dx = 0.5*x;
    dy = y;
    invm = 1 / sqrt(dx*dx + dy*dy);
    drawline (2*x, y, 2*x + dx * invm, y + dy * invm);
}

另一种思考方式是隐式轮廓。如果通过函数定义曲线：

f(x,y) = 0

那么法向量指向的方向：

(df/dx, df/dy)

其中导数是偏导数。在你的情况下：

f(x,y) = (x/2)^2 + y^2 = 0

df/dx = x/2
df/dy = y

您会注意到，这与对偶转换相同。

【讨论】：

这正是我所需要的。我现在明白了。谢谢。