如何在 Python 中获得更精确的十进制值 [重复]答案

【问题标题】：How can I get more exact decimal values in Python [duplicate]如何在 Python 中获得更精确的十进制值 [重复]
【发布时间】：2015-09-16 16:28:11
【问题描述】：

from math import sqrt


a=1e-8
b=10
c=1e-8

x1 = ((-b)-sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)
x2 = ((-b)+sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)

print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)

print (4*a*c)
print (sqrt(b**2-4*a*c))
print b**2
print 2*a

当我运行程序时，返回：

x1 = -1e+09
x2 = 0.0

4e-16
10.0
100.0
2e-08

我需要 x2 等于 -1e-9。

问题似乎出在

sqrt((b**2)-(4*a*c))

因为它给出了 10 作为结果，显然是因为 4*(10^-8)*(10^-8) 几乎等于 0，并且被 python 认为是 0。

这会导致：

sqrt((b**2)-(4*a*c)) = sqrt(b**2) = sqrt(10**2) = 10

任何帮助将不胜感激

【问题讨论】：

标签： python math calculus

【解决方案1】：

使用十进制模块：

from decimal import Decimal
a = Decimal('1E-8')
b = 10
c = Decimal('1E-8')
x1 = ((-b)-((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
x2 = ((-b)+((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)

结果

x1 = -999999999.999999999000000000
x2 = -1.0000000000E-9

【讨论】：

【解决方案2】：

你不需要额外的精度来解决这个问题：Python floats 已经有足够的精度来完成这项工作。你只需要一个（稍微）更聪明的算法。

您的问题源于减去两个几乎相等的计算值：当您执行 -b + sqrt(b*b-4*a*c) 时，对于 b 正和大（与 a 和 c 相比），您最终得到的结果是有较大的相对误差。但请注意，此问题仅适用于两个根之一：在-b - sqrt(b*b-4*a*c) 中，不存在此类问题。同样，对于b 大和负，第一个根很好，但第二个可能会损失准确性。

解决方案是使用您现有的公式来计算不存在抵消问题的任何一个根，然后对另一个根使用不同的公式（本质上，使用您知道两者的乘积的事实根是c / a)。那个公式是2c / (-b +/- sqrt(b*b-4*a*c))。

这是一些示例代码。它使用math.copysign 来选择不会导致取消错误的标志：

>>> from math import sqrt, copysign
>>> def quadratic_roots(a, b, c):
...     discriminant = b*b - 4*a*c
...     q = -b - copysign(sqrt(discriminant), b)
...     root1 = q / (2*a)
...     root2 = (2*c) / q
...     return root1, root2
... 
>>> quadratic_roots(a=1e-8, b=10, c=1e-8)
>>> (-1000000000.0, -1e-09)

这涉及到数值不稳定的最严重的可能原因。还有第二个可能的原因，在判别式的计算中，如果b*b 恰好非常接近4*a*c。在这种情况下，可能会丢失多达一半的正确有效数字（因此每个根只能得到 7-8 个准确数字）。在这种情况下获得全精度结果将需要使用扩展精度计算判别式。

loss of significance 上的维基百科文章包含对这个问题的有用讨论。

【讨论】：

【解决方案3】：

您也可以使用bigfloat 库来实现相同的目的，并且具有任意精度。

from bigfloat import sub, add, mul, div, sqr, sqrt, precision

a=1e-8
b=10
c=1e-8
p = 100

D = sub(sqr(b) , mul(4, mul(a,c) ), precision(p))

x1 = div( - add(b , sqrt(D, precision(p))) , mul(2,a), precision(p))
x2 = div( - sub(b , sqrt(D, precision(p))) , mul(2,a), precision(p))

print x1,x2

-999999999.99999997907743916987153 -9.9999999999981901320509082432747e-10

【讨论】：