优化人们偏好的软件

Question

假设我有两种颜色的棒棒糖，每种颜色有五个棒棒糖（总共十个），我想将这些棒棒糖分发给我的朋友。我们每个人都会提交一些排名偏好：

本：1 - 橙色，2 - 绿色，3 - 红色

乔：1 - 绿色，2 - 蓝色，3 - 红色

蒂姆：1 - 橙色，2 - 红色，3 - 蓝色 等等

我可以使用任何软件来“最小化”我们必须做出的全部牺牲吗？ （例如，让每个人尽可能接近他们的第一偏好）

Answer 1

这个问题缺乏一个好的模型。目标/损失的不同表述将导致完全不同的行为/解决方案。

这是一种混合整数编程方法（因为您的问题已经是 np-hard）：

模型 A

• 第一偏好给出满意 X，第二：Y，... (9, 4, 1, 0) = 平方反比
  • 这相当于最小二乘解/l2-范数解（= 较大的失误比较小的失误更难处罚）
• 我们希望最大限度地提高总体满意度

模型效果

• 不要尝试给每个人相同数量的棒棒糖

代码

import math
import numpy as np
from cvxpy import *

# PROBLEM
# -------
# colors = orange, green, red, blue
n_colors = 4
n_lollies_per_color = 5
n_lollies = n_colors * n_lollies_per_color
prefs = np.asarray([[0, 1, 2, 3],
                    [1, 3, 2, 0],
                    [0, 2, 3, 1]])
n_persons = prefs.shape[0]
n_lollies_per_person = n_lollies / n_persons

# SOLVER
# ------
per_person_per_lolly_satisfaction_vector = np.asarray([[n_colors -1 - np.where(prefs[p, :] == c)[0]
                                                        for c in range(n_colors)]
                                                        for p in range(n_persons)]).reshape((3,4))
# Decision-vars
X = Int(n_persons, n_colors)

# Constraints
constraints = []
# non-zero lollies
constraints.append(X >= 0)
# exactly n_lollies_per_color are distributed
for c in range(n_colors):
  constraints.append(sum_entries(X[:,c]) == n_lollies_per_color)

# Objective
objective = Maximize(sum_entries(mul_elemwise(np.square(per_person_per_lolly_satisfaction_vector), X)))

problem = Problem(objective, constraints)
problem.solve(verbose=False)
print(problem.value)
print(np.round(X.value))  # Rows -> persons; Columns -> amount of lollies they got

输出

129.9999999837688
[[ 1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  5.  0.  5.]
 [ 4.  0.  5.  0.]]

观察

• 第一个人只得到 1 个棒棒糖，而其他人得到 9/10（如预期的那样）

型号 B

• 与 A 相同，但我们只允许在每个人之间获得 1 的棒棒糖数量差异 -> 这是硬编码到约束中（更强大的软约束更难实现 ->关键词：凸度）

效果

• 根据获得的棒棒糖数量公平分配棒棒糖

代码差异

只需添加这些约束：

# lower and upper bound on lollies received -> at most 1 lolly less than      everyone else
for p in range(n_persons):
    constraints.append(sum_entries(X[p, :]) >= math.floor(n_lollies_per_person))
    constraints.append(sum_entries(X[p, :]) <= math.ceil(n_lollies_per_person))

输出

119.99999984107899
[[ 5.  0.  0.  1.]
 [-0.  5.  0.  2.]
 [ 0.  0.  5.  2.]]

观察

• 我们以一定的代价获得了公平的分配：
  • 我们完全失去了满意度（120 对 130）