【发布时间】：2012-01-11 19:04:12
【问题描述】：
为什么对数的增长速度比任何多项式都慢？这有什么（可以理解的）证据？
同样，
为什么指数总是比任何多项式增长得快？
【问题讨论】：
-
第 1 步——在方格纸上绘制曲线。第 2 步 - 查看曲线。你到底在问什么？为什么形状是这样的？
【发布时间】：2012-01-11 19:04:12
【问题描述】：
编辑：这个答案本质上是在做 PengOne 所说的。
我们采取限制
log_2(x) / x^p
对于常数 p > 0 并表明极限为零。由于随着 x 无限增长，log_2(x) 和 x^p 都趋于无穷大，因此我们应用l'Hopital's rule。这意味着我们的限制与限制相同
1/(x*ln2) / p*x^(p-1)
使用简单的分数规则，我们将其简化为
1 / (p * x^p * ln2)
由于分母趋于无穷大，而分子不变，我们可以评估极限 - 它为零，这意味着无论 p 的（正）值如何，log_2(x) 的渐近增长都比 x^p 慢。
EDIT2：
顺便说一句，如果您对这个问题和发布的答案感兴趣，请考虑通过点击此链接并承诺支持新的 Computer Science StackExchange 网站：
【讨论】：
给定两个（非负）实值函数 f 和 g，您要计算
lim_{x -> infinity} f(x) / g(x)
这个限制是：
-
0当且仅当f增长慢于g -
infinity当且仅当f增长快于g -
c表示某个常数0 < c < infinity当且仅当f和g以相同的速度增长
现在您可以采用任何您喜欢的示例并计算限制，看看哪个增长更快。
【讨论】：
你可以考虑导数。
d(x^n)/dx = nx^(n-1)
d(ln x)/dx = 1/x
对于 n >= 1，nx^(n-1) 随 x 增加或保持不变，而 1/x 随 x 减少，因此多项式增长更快。
e^x的对数是x，而n^x的对数是n ln x，所以用上面的论据比较e^x的对数和x^n的对数，e^x增长得更快.
【讨论】：