MATLAB 是否支持在数值上对单个变量进行双重积分？答案

【问题标题】：Does MATLAB support double integration on single variable numerically?MATLAB 是否支持在数值上对单个变量进行双重积分？
【发布时间】：2015-07-16 03:11:57
【问题描述】：

我有一个长向量

acceleration=[6.45, 6.50, 6.52, 6.32, .... , 4.75]

已经从 simulink 获得（再次运行 simulink 模型需要很长时间）。并假设步长是恒定的dt=0.1

有什么办法可以通过数字找到最终位置吗？

我知道有一个 trapz 函数，我知道 MATLAB 支持 2D integration 并且我知道在 simulink 中集成是一种选择。但是，有没有办法采取双重积分：

final_position= integrate integrate acceleration dt^2

数值上，精度不比梯形法差？

我更喜欢避免基于循环的解决方案。

【问题讨论】：

标签： matlab numerical-methods integral

【解决方案1】：

使用梯形法则：

vinit = 0;                                    % initial velocity
pinit = 0;                                    % initial position

velocity = zeros(size(acceleration)) + vinit; % velocity vector
position = zeros(size(acceleration)) + pinit; % position vector

velocity(2:end) = velocity(2:end) + 0.5 * dt * cumsum(acceleration(2:end)+acceleration(1:end-1));
position(2:end) = position(2:end) + 0.5 * dt * cumsum(    velocity(2:end)+    velocity(1:end-1));

我使用cumsum()（累积和）来计算每个点的积分，而不仅仅是总和；这意味着可以再次积分速度以获得位置。最终的位置显然是position(end)。

【讨论】：

只是想指出 MATLAB 中不存在就地运算符。我冒昧地编辑了你的帖子。但是，它们确实存在于 Octave 中，我怀疑您在 Octave 中开发了上述代码，然后将其放在这里。在开始回答 MATLAB / Octave 相关问题之前，请注意标签。祝你好运！

【解决方案2】：

我不知道有一个内置函数可以满足您的需求。我的建议是建立你自己的。函数trapz 沿整个域取积分，因此给你一个值。由于您要获取第二个积分，因此您首先需要生成一个与第一个积分相对应的值向量。这是通过整合原始向量越来越大的步长来实现的。

acceleration = [6.45, 6.50, 6.52, 6.32, .... , 4.75];
velocity = zeros(size(acceleration));
for i = 1:length(acceleration),
    velocity(i) = trapz(acceleration(1:i))*dt;
end
p = trapz(velocity)*dt;

我知道这使用了循环，但也许它可以帮助您入门。祝你好运。

【讨论】：

【解决方案3】：

另一种方法是将您的二阶微分方程转换为一阶微分方程。

你的方程式是

X''(t) = a(t);
X(0) = x_0;
X'(0) = x_p_0;

现在如果你定义u1(t) = X(t); u2(t) = X'(t)，你会得到

U'(t) = A*U(t) + a(t)

在哪里

U(t) = [u1(t);u2(t)]
A = [0 1
     0 0]

然后你可以使用任何求解器（比如 ode45）来求解这个 U(t) 向量。矢量的第二个分量是位置。它的误差范围比类似 trapz 的函数要小得多。 matlab 在他们实现的求解器中也有很多优化。

【讨论】：