使用符号或数值方法加速 Matlab 积分计算？答案

【问题标题】：Speed up Matlab integral calculation using either symbolic or numeric methods?使用符号或数值方法加速 Matlab 积分计算？
【发布时间】：2014-09-07 17:20:04
【问题描述】：

两个月前我是 Matlab 初学者。我将它用于我的暑期项目来处理 MRI 图像。最近，我为如下所示的集成编写了代码。但是，这两种方法都非常缓慢。运行它们花了一天时间。如何改进它们以缩短运行时间？

符号方法：

syms t;
T=t*ones(79,95,78);
RF1=(1/2)*double(int(((T+x1).^(-1/2)).*((T+y1).^(-1/2)).*((T+z).^(-1/2)),t,0,inf));
RD1=(3/2)*double(int(((T+x1).^(-1/2)).*((T+y1).^(-1/2)).*((T+z).^(-3/2)),t,0,inf));

数值法：

fun1=@(T) ((T+x1).^(-1/2)).*((T+y1).^(-1/2)).*((T+z).^(-1/2));
RF1=(1/2)*integral(fun1,0,inf,'ArrayValued',true);
fun2=@(T) ((T+x1).^(-1/2)).*((T+y1).^(-1/2)).*((T+z).^(-3/2));
RD1=(3/2)*integral(fun2,0,inf,'ArrayValued',true);

其中x1、y1、z 是 79×95×78 实矩阵。

【问题讨论】：

标签： performance matlab symbolic-math integral

【解决方案1】：

您正在尝试计算 555,750 个积分，因此需要一些时间。以下是一些可能会有所帮助的建议。

1. 首先，您可以稍微更有效地表达您的方程（这可能会影响结果的数值精度，具体取决于您的值的大小和问题的稳定性）：

fun1 = @(T)1./sqrt((T+x1).*(T+y1).*(T+z));
fun2 = @(T)1./sqrt((T+x1).*(T+y1).*(T+z).*(T+z).*(T+z));

可以对符号情况执行相同的转换。在仅对较小的（4,524 个元素数组）x1、y1 和 z 数组使用随机值的测试中，您的两组积分在我的机器上的计算速度都快了四倍。

2. 您还可以通过将匿名函数转换为常规 M-File 函数来稍微提高速度。在单独的文件中：

function RF1 = fun1(T,x1,y1,z)
RF1 = 1./sqrt((T+x1).*(T+y1).*(T+z));

和

function RD1 = fun2(T,x1,y1,z)
RD1 = 1./sqrt((T+x1).*(T+y1).*(T+z).*(T+z).*(T+z));

然后通过x1、y1和z作为参数调用它们：

RF1 = 0.5*integral(@(T)fun1(T,x1,x2,z),0,Inf,'ArrayValued',true);
RD1 = 1.5*integral(@(T)fun2(T,x1,x2,z),0,Inf,'ArrayValued',true);

我在我的机器上看到了一个很小但不可忽略的差异：我尝试的数据快了大约 10%。这可能是因为 M 文件是单独 JIT 编译的，而且常规函数的处理方式可能与匿名函数略有不同。

3. 当然，您还应该使用integral 的绝对和相对公差。您还可以查看矢量化的quadv 是否更快并提供准确的结果（但请注意，该函数将在未来版本的 Matlab 中删除）。根据您的数据和函数的性质，甚至可以离散化问题（使用较大的上限而不是Inf）并使用trapz 之类的方法来执行集成，尽管我不知道这样会不会更快。

对于符号情况，您可以尝试将t 定义为真实的（即syms t real;）并可能将'IgnoreAnalyticConstraints' 选项指定为true，以查看其中任何一个是否可以提高速度。符号数学在内存方面也可能效率低下，因此您也可以尝试分解问题并以块的形式集成（例如逐行）。除了int，还有其他选项可能更快，但如果没有您的实际数据值，就很难说（如果您不需要精度，纯数字方法会快得多）。

4. 最后，如果你不需要太多的精度，只关心速度，你可以在 C 中实现 "fast inverse square root trick" mex。

【讨论】：