为什么 Mathematica 不能求解这个定积分？答案

【问题标题】：Why can't Mathematica solve this definite integral?为什么 Mathematica 不能求解这个定积分？
【发布时间】：2012-01-01 10:22:43
【问题描述】：

当我尝试在 Mathematica 8 中计算以下积分时，我得到了这个奇怪的结果：

In[1]:= Integrate[y/((1 + x^2 + y^2)^(3/2)), {y, 0, 1}]

Maple 14 可以轻松解决这个问题：

为什么 Mathematica 会给我不同的结果？

【问题讨论】：

在这两个示例中，您没有对相同的变量进行积分。请务必在 StackOverflow 上提出直接且可明确回答的问题，以获得好的答案。在这种情况下，您的意思是“如何使用 Mathematica 计算这个积分”？？
你是对的，我复制粘贴了错误的表达式。我更正了。
致接近者：这是一个关于编程语言 Mathematica的完美主题问题。这不是数学/数学问题。

【解决方案1】：

试试这个

r = Integrate[y/((1 + x^2 + y^2)^(3/2)), {y, 0, 1}]
r = Assuming[Element[x, Reals], Simplify[r]];
Together[r]

给了

(-Sqrt[1+x^2]+Sqrt[2+x^2])/(Sqrt[1+x^2] Sqrt[2+x^2])

这和枫树的一样：

【讨论】：

非常感谢。我是否可以将此作为一般规则，当我得到一个带有实部和虚部的混淆条件表达式时，我使用假设 x=实数表达式？顺便说一句，mathematica 中的评估在我的机器上需要几秒钟，而在枫树中它会立即出现。此外，使用 FullSimplify 可以进一步简化结果，但是当我用 FullSimplify 替换您的假设表达式中的 Simplify 时，我得到的结果与使用 Simplify 相同。
@MartinKoller 您可以在文档中查找ConditionalExpression 以查找它是什么。它仅在某些假设为真时结果才有效时使用。如果x==I，那么 Maple 给出的结果就是不正确的。在这种情况下，Mathematica 可以检测到这一点，并生成结果有效的条件。如果您只对真正有价值的x 感兴趣，请在Integrate 函数内部说Integrate[y/((1 + x^2 + y^2)^(3/2)), {y, 0, 1}, Assumptions -> x \[Element] Reals]，它会更快。