'n' 数字序列的排列答案

【问题标题】：Arrangement of sequence of 'n' numbers'n' 数字序列的排列
【发布时间】：2012-07-18 05:15:21
【问题描述】：

你可以用多少种方式排列一个“n”（1 到 n）个数字的序列，使得在其值所代表的索引处没有数字出现？

例如

1 can not be at first position
2 can not be at second position
.
.
n can not be at nth position

请给出一个通用的解决方案。也解决它为n = 6。这不是家庭作业。

【问题讨论】：

如果它走路像鸭子，说话像鸭子......你确定这不是家庭作业吗？
如何以编程方式生成紊乱的问题已经dealt with previously here。严格来说，计算它们的公式是一个数学主题（请参阅我在 MathSE 上链接到此类问题的答案）。

标签： algorithm math permutation

【解决方案1】：

您想要无定点排列，也称为derangements。它们数量的公式比可能具有固定点的排列数量的公式稍微复杂一些。

【讨论】：

非常轻微，最接近 n!/e 的整数。 Wikipedia 文章并没有清楚地解释这一点，尽管它指出紊乱的分数收敛到 1/e 并给出了 floor((n!/e) + (1/2)) 作为精确表达式。

【解决方案2】：

令 P(n) 为 n 数字的此类排列数。

For 123456....n
Cases are of the form

2*****
3*****
4*****
5*****
.
.
n*****

Now 1 can be anywhere at the rest (n-1) positions.
If 1 is put at the position of the number replacing it...

21****
3*1***
4**1**
.
.
n****1

then first and the replaced numbers are fixed.
Then total cases = (n-1) * P(n-2)

Else if
1 is also restricted not to be at a particular position (positions in above cases)
Then total cases = (n-1) * P(n-1)

所以

P(n) = (P(n-1) + P(n-2)) * (n-1)

P(1) = 0

和 P(2) = 1

【讨论】：

【解决方案3】：

n 事物的紊乱（无定点排列）数为 round(n!/e)，其中 e 是自然对数的底。这里round 表示最接近的整数函数。这在 the Wikipedia article 中有所描述，但方式可以得到澄清。

对于n = 6，很容易计算出有round(264.87...) = 265 混乱。

实际上你已经问过a frequently covered question from MathSE。

【讨论】：