为什么这些数字不相等？

Question

下面的代码显然是错误的。有什么问题？

i <- 0.1
i <- i + 0.05
i
## [1] 0.15
if(i==0.15) cat("i equals 0.15") else cat("i does not equal 0.15")
## i does not equal 0.15

Answer 1

一般（语言无关）原因

由于并非所有数字都可以在IEEE floating point arithmetic（几乎所有计算机用来表示十进制数字并用它们进行数学运算的标准）中精确表示，因此您不会总是得到您期望的结果。尤其如此，因为一些简单的有限小数（例如 0.1 和 0.05）在计算机中没有精确表示，因此对它们的算术结果可能不会给出与“已知”的答案。

这是众所周知的计算机算术限制，并在多个地方进行了讨论：

• R 常见问题解答中有专门的问题：R FAQ 7.31
• The R Inferno by Patrick Burns 将第一个“圈子”用于解决此问题（从第 9 页开始）
• David Goldberg，“每个计算机科学家都应该了解的浮点运算知识”，ACM 计算调查23，1 (1991-03)，5-48 @ 987654324@(revision also available)
• The Floating-Point Guide - What Every Programmer Should Know About Floating-Point Arithmetic
• 0.30000000000000004.com 比较不同编程语言的浮点运算
• 几个堆栈溢出问题，包括
  • Why are floating point numbers inaccurate?
  • Why can't decimal numbers be represented exactly in binary?
  • Is floating point math broken?
  • Canonical duplicate for "floating point is inaccurate"（关于此问题的规范答案的元讨论）

比较标量

R 中的标准解决方案不是使用==，而是使用all.equal 函数。或者更确切地说，因为all.equal 提供了很多关于差异的详细信息，如果有的话，isTRUE(all.equal(...))。

if(isTRUE(all.equal(i,0.15))) cat("i equals 0.15") else cat("i does not equal 0.15")

产量

i equals 0.15

更多使用all.equal 而不是== 的示例（最后一个示例应该表明这将正确显示差异）。

0.1+0.05==0.15
#[1] FALSE
isTRUE(all.equal(0.1+0.05, 0.15))
#[1] TRUE
1-0.1-0.1-0.1==0.7
#[1] FALSE
isTRUE(all.equal(1-0.1-0.1-0.1, 0.7))
#[1] TRUE
0.3/0.1 == 3
#[1] FALSE
isTRUE(all.equal(0.3/0.1, 3))
#[1] TRUE
0.1+0.1==0.15
#[1] FALSE
isTRUE(all.equal(0.1+0.1, 0.15))
#[1] FALSE

更多细节，直接从answer to a similar question复制：

您遇到的问题是浮点数在大多数情况下不能准确表示小数，这意味着您会经常发现完全匹配失败。

而当你说：

1.1-0.2
#[1] 0.9
0.9
#[1] 0.9

你可以用十进制找出它真正的想法：

sprintf("%.54f",1.1-0.2)
#[1] "0.900000000000000133226762955018784850835800170898437500"
sprintf("%.54f",0.9)
#[1] "0.900000000000000022204460492503130808472633361816406250"

您可以看到这些数字不同，但表示方式有点笨拙。如果我们以二进制（好吧，十六进制，这是等效的）查看它们，我们会得到更清晰的图像：

sprintf("%a",0.9)
#[1] "0x1.ccccccccccccdp-1"
sprintf("%a",1.1-0.2)
#[1] "0x1.ccccccccccccep-1"
sprintf("%a",1.1-0.2-0.9)
#[1] "0x1p-53"

您可以看到它们相差2^-53，这很重要，因为这个数字是值接近 1 的两个数字之间可表示的最小差异，就像这样。

我们可以通过查看 R 的 machine 字段来找出任何给定计算机的最小可表示数字是多少：

 ?.Machine
 #....
 #double.eps     the smallest positive floating-point number x 
 #such that 1 + x != 1. It equals base^ulp.digits if either 
 #base is 2 or rounding is 0; otherwise, it is 
 #(base^ulp.digits) / 2. Normally 2.220446e-16.
 #....
 .Machine$double.eps
 #[1] 2.220446e-16
 sprintf("%a",.Machine$double.eps)
 #[1] "0x1p-52"

您可以使用这个事实来创建一个“几乎等于”函数，该函数检查差值是否接近浮点中可表示的最小数字。事实上，这已经存在：all.equal。

?all.equal
#....
#all.equal(x,y) is a utility to compare R objects x and y testing ‘near equality’.
#....
#all.equal(target, current,
#      tolerance = .Machine$double.eps ^ 0.5,
#      scale = NULL, check.attributes = TRUE, ...)
#....

所以 all.equal 函数实际上是检查数字之间的差是两个尾数之间最小差的平方根。

这个算法在被称为非正规数的极小数附近有点有趣，但你不必担心。

比较向量

上面的讨论假设了两个单一值的比较。在 R 中，没有标量，只有向量，隐式向量化是该语言的优势。对于逐元素比较向量的值，前面的原则是成立的，但实现方式略有不同。 == 是矢量化的（按元素进行比较），而 all.equal 将整个矢量作为一个实体进行比较。

使用前面的例子

a <- c(0.1+0.05, 1-0.1-0.1-0.1, 0.3/0.1, 0.1+0.1)
b <- c(0.15,     0.7,           3,       0.15)

== 没有给出“预期”的结果，all.equal 没有按元素执行

a==b
#[1] FALSE FALSE FALSE FALSE
all.equal(a,b)
#[1] "Mean relative difference: 0.01234568"
isTRUE(all.equal(a,b))
#[1] FALSE

相反，必须使用循环两个向量的版本

mapply(function(x, y) {isTRUE(all.equal(x, y))}, a, b)
#[1]  TRUE  TRUE  TRUE FALSE

如果需要这样的功能版本，可以编写

elementwise.all.equal <- Vectorize(function(x, y) {isTRUE(all.equal(x, y))})

可以直接调用

elementwise.all.equal(a, b)
#[1]  TRUE  TRUE  TRUE FALSE

或者，您可以复制all.equal.numeric 的相关内部结构并使用隐式矢量化，而不是将all.equal 包装在更多的函数调用中：

tolerance = .Machine$double.eps^0.5
# this is the default tolerance used in all.equal,
# but you can pick a different tolerance to match your needs

abs(a - b) < tolerance
#[1]  TRUE  TRUE  TRUE FALSE

这是dplyr::near 采用的方法，将自己记录为

这是比较两个浮点数向量是否（成对）相等的安全方法。这比使用== 更安全，因为它具有内置容差

dplyr::near(a, b)
#[1]  TRUE  TRUE  TRUE FALSE

Answer 2

添加到 Brian 的评论（这就是原因），您可以改用 all.equal 来解决这个问题：

# i <- 0.1
# i <- i + 0.05
# i
#if(all.equal(i, .15)) cat("i equals 0.15\n") else cat("i does not equal 0.15\n")
#i equals 0.15

根据 Joshua 的警告，这里是更新后的代码（感谢 Joshua）：

 i <- 0.1
 i <- i + 0.05
 i
if(isTRUE(all.equal(i, .15))) { #code was getting sloppy &went to multiple lines
    cat("i equals 0.15\n") 
} else {
    cat("i does not equal 0.15\n")
}
#i equals 0.15

Answer 3

这是 hackish，但很快：

if(round(i, 10)==0.15) cat("i equals 0.15") else cat("i does not equal 0.15")

Answer 4

dplyr::near() 是用于测试两个浮点数向量是否相等的选项。这是来自docs 的示例：

sqrt(2) ^ 2 == 2
#> [1] FALSE
library(dplyr)
near(sqrt(2) ^ 2, 2)
#> [1] TRUE

该函数有一个内置的容差参数：tol = .Machine$double.eps^0.5，可以调整。默认参数与all.equal()的默认参数相同。

Answer 5

我遇到了类似的问题。我使用了以下解决方案。

@我发现这个解决方案是关于不等切割间隔的解决方案。 @ 一世 在 R 中使用了 round 函数。通过将选项设置为 2 位，确实 没有解决问题。

options(digits = 2)
cbind(
  seq(      from = 1, to = 9, by = 1 ), 
  cut( seq( from = 1, to = 9, by = 1),          c( 0, 3, 6, 9 ) ),
  seq(      from = 0.1, to = 0.9, by = 0.1 ), 
  cut( seq( from = 0.1, to = 0.9, by = 0.1),    c( 0, 0.3, 0.6, 0.9 )),
  seq(      from = 0.01, to = 0.09, by = 0.01 ), 
  cut( seq( from = 0.01, to = 0.09, by = 0.01),    c( 0, 0.03, 0.06, 0.09 ))
)

基于options(digits = 2)的不等切割间隔输出：

  [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
 [1,]    1    1  0.1    1 0.01    1
 [2,]    2    1  0.2    1 0.02    1
 [3,]    3    1  0.3    2 0.03    1
 [4,]    4    2  0.4    2 0.04    2
 [5,]    5    2  0.5    2 0.05    2
 [6,]    6    2  0.6    2 0.06    3
 [7,]    7    3  0.7    3 0.07    3
 [8,]    8    3  0.8    3 0.08    3
 [9,]    9    3  0.9    3 0.09    3


options(digits = 200)
cbind(
  seq(      from = 1, to = 9, by = 1 ), 
  cut( round(seq( from = 1, to = 9, by = 1), 2),          c( 0, 3, 6, 9 ) ),
  seq(      from = 0.1, to = 0.9, by = 0.1 ), 
  cut( round(seq( from = 0.1, to = 0.9, by = 0.1), 2),    c( 0, 0.3, 0.6, 0.9 )),
  seq(      from = 0.01, to = 0.09, by = 0.01 ), 
  cut( round(seq( from = 0.01, to = 0.09, by = 0.01), 2),    c( 0, 0.03, 0.06, 0.09 ))
)

基于轮函数的等切区间输出：

      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
 [1,]    1    1  0.1    1 0.01    1
 [2,]    2    1  0.2    1 0.02    1
 [3,]    3    1  0.3    1 0.03    1
 [4,]    4    2  0.4    2 0.04    2
 [5,]    5    2  0.5    2 0.05    2
 [6,]    6    2  0.6    2 0.06    2
 [7,]    7    3  0.7    3 0.07    3
 [8,]    8    3  0.8    3 0.08    3
 [9,]    9    3  0.9    3 0.09    3

Answer 6

双精度算术中的广义比较（“=”、“=”）：

比较一个

IsSmallerOrEqual <- function(a,b) {   
# Control the existence of "Mean relative difference..." in all.equal; 
# if exists, it results in character, not logical:
if (   class(all.equal(a, b)) == "logical" && (a<b | all.equal(a, b))) { return(TRUE)
 } else if (a < b) { return(TRUE)
     } else { return(FALSE) }
}

IsSmallerOrEqual(abs(-2-(-2.2)), 0.2) # TRUE
IsSmallerOrEqual(abs(-2-(-2.2)), 0.3) # TRUE
IsSmallerOrEqual(abs(-2-(-2.2)), 0.1) # FALSE
IsSmallerOrEqual(3,3); IsSmallerOrEqual(3,4); IsSmallerOrEqual(4,3) 
# TRUE; TRUE; FALSE

比较 a >= b：

IsBiggerOrEqual <- function(a,b) {
# Control the existence of "Mean relative difference..." in all.equal; 
# if exists, it results in character, not logical:
if (   class(all.equal(a, b)) == "logical" && (a>b | all.equal(a, b))) { return(TRUE)
 } else if (a > b) { return(TRUE)
     } else { return(FALSE) }
}
IsBiggerOrEqual(3,3); IsBiggerOrEqual(4,3); IsBiggerOrEqual(3,4) 
# TRUE; TRUE; FALSE

比较 a = b：

IsEqual <- function(a,b) {
# Control the existence of "Mean relative difference..." in all.equal; 
# if exists, it results in character, not logical:
if (   class(all.equal(a, b)) == "logical" ) { return(TRUE)
 } else { return(FALSE) }
}

IsEqual(0.1+0.05,0.15) # TRUE