感知器权重更新规则的直觉

Question

我无法理解perceptrons 的权重更新规则：

w(t + 1) = w(t) + y(t)x(t).

假设我们有一个线性可分的数据集。

• w 是一组权重 [w0, w1, w2, ...]，其中 w0 是一个偏差。
• x 是一组输入参数 [x0, x1, x2, ...]，其中 x0 固定为 1 以适应偏差。

在迭代t，其中t = 0, 1, 2, ...,

• w(t) 是迭代 t 时的权重集。
• x(t) 是一个错误分类的训练示例。
• y(t) 是 x(t) 的目标输出（-1 或 1）。

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为什么这个更新规则会向正确的方向移动边界？

Answer 1

感知器更新规则的更好推导记录在 here 和 here 中。推导是使用梯度下降。

• 梯度下降算法的基本前提是找到分类的误差，使你的参数最小化。

PS： 我非常努力地想知道为什么有人将 x 和 y 相乘以得出 w 的更新。因为 w 是单个维度的斜率 (y = wx+c) 并且斜率 w = (y/x) 而不是 y * x。

Answer 2

感知器的输出是实例和权重之间的点积的硬限制。让我们看看更新后这将如何变化。自从

w(t + 1) = w(t) + y(t)x(t),

然后

x(t) ⋅ w(t + 1) = x(t) ⋅ w(t) + x(t) ⋅ (y(t) x(t)) = x(t) ⋅ w (t) + y(t) [x(t) ⋅ x(t))].

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注意：

• 根据算法规范，仅当 x(t) 分类错误时才应用更新。
• 根据点积的定义，x(t) ⋅ x(t) ≥ 0。

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这如何相对于x(t)移动边界？

• 如果 x(t) 被正确分类，则算法不会应用更新规则，因此不会发生任何变化。
• 如果 x(t) 被错误地归类为负数，则 y(t) = 1。因此，新的点积增加了 x(t) ⋅ x(t)（这是正数）。因此，就 x(t) 而言，边界向正确的方向移动。
• 相反，如果 x(t) 被错误地归类为阳性，则 y(t) = -1。因此，新的点积减少了 x(t) ⋅ x(t)（这是正数）。因此，就 x(t) 而言，边界向正确的方向移动。