使用 PolynomialFeatures 和 LinearRegression 拟合更高次函数

Question

在一本书中，我发现以下代码将线性回归拟合到二次数据：

m = 100
X = 6 * np.random.rand(m, 1) - 3
y = 0.5 * X**2 + X + 2 + np.random.randn(m, 1)
poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
X_poly = poly_features.fit_transform(X)
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_poly, y)

但这怎么可能呢？我从documentation 知道PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False) 正在创建一个如下所示的数组：

[[X[0],X[0]**2]
[X[1],X[1]**2]
.....
[X[n],X[n]**2]]

但是：LinearRegression 如何拟合这些数据？表示 LinearRegression 在做什么以及其背后的概念是什么。

感谢您的任何解释！

Answer 1

二阶多项式特征将创建一个如下所示的数组：

   [[1, X[0], X[0]**2]
    [1, X[1], X[1]**2]
    .....
    [1, X[n] ,X[n]**2]]

我们称上面的矩阵为X。然后 LinearRegression 正在寻找 3 个数字 a,b,c 以便向量

X* [[a],[b],[c]] - Y

具有最小的均方误差（这只是上面向量中平方和的平均值）。

请注意，乘积 X* [[a],[b],[c]] 只是矩阵 X 与列向量 [a,b,c].T 的乘积。结果是一个与Y相同维度的向量。

关于您评论中的问题：

1. 此函数在新功能集中是线性的：x, x**2。只需将x**2 视为模型中的附加功能即可。

2. 对于您问题中提到的特定数组，LinearRegression 方法正在寻找使总和最小化的数字a,b,c

   (a*1+bX[0]+cX[0]**2-Y[0])**2+(a*1+bX[ 1]+cX[1]**2-Y[1])**2+..+(a*1+bX[n]+cX[n ]**2-Y[n])**2

所以它会找到一组这样的数字a,b,c。因此建议的函数y=a+b*x+c*x**2 不仅仅基于第一行。相反，它基于所有行，因为选择的参数a,b,c 是那些使上述总和最小化的参数，并且这个总和涉及来自所有行的元素。

1. 创建向量x**2 后，线性回归仅将其视为附加特征。你可以给它一个新名字v=x**2。那么线性回归的形式为y=a+b*x+c*v，这意味着它在x 和v 中是线性的。该算法不关心您如何创建v。它只是将v 视为附加功能。