ccw算法解释

Question

我在理解 ccw（逆时针）算法时遇到了一些问题：

int ccw (Point P0, Point P1, Point P2) {
    dx1 = P1.x - P0.x;
    dx2 = P2.x - P0.x;
    dy1 = P1.y - P0.y;
    dy2 = P1.y - P0.y;

    if (dy1 * dx2 > dy2 * dx1) return -1;
    if (dx1 * dy2 > dy1 * dx2) return 1;
    if ((dx1 * dx2 < 0) || (dy1 * dy2 < 0)) return 1;
    if ((dx1 * dx1 + dy1 * dy1) < (dx2 * dx2 + dy2 * dy2)) return -1;
    return 0;
}

这段代码用于查看两条线是否相交：

bool intersect (Vector2D l1, Vector2D l2) {
    return (((ccw(l1.start, l1.end, l2.start) * ccw(l1.start, l1.end, l2.end)) <= 0)
    && ((ccw(l2.start, l2.end, l1.start) * ccw(l2.start, l2.end, l1.start)) <= 0))
}

intersect 函数里面的代码我能看懂，但ccw 函数里面的代码我不是很懂。

为什么不用叉积？

Answer 1

ccw 函数内的代码是用一种相当特别的方式编写的，但它确实使用了有时非常非正式地称为cross product 的 2D 版本。对于 (dx1, dy1) 和 (dx2, dy2) 两个向量，该乘积定义为等于

的标量值

CP = dx1 * dy2 - dx2 * dy1;

（在形式上正确的术语中，CP 实际上是向量(dx1, dy1, 0) 和(dx2, dy2, 0) 的经典3D 叉积的有符号幅度。）显然，该值只是一个scalar (dot) 乘积，其中一个向量被它的垂线代替。

如果CP 的值为正，则从(dx1, dy1) 到(dx2, dy2) 的最短径向扫描为逆时针方向。负数CP 表示顺时针扫掠。 CP 中的零表示共线向量。 （所有这些都假设 Y 轴向上，X 轴向右。）

显然，CP > 0 条件等价于dx1 * dy2 > dx2 * dy1 条件，CP < 0 等价于dx1 * dy2 < dx2 * dy1。这正是您的ccw 函数通过前两个ifs 检查的内容。

剩余的ifs 正在处理共线情况。

如果向量指向相反的方向（由第三个if检测到），即当P0位于P1和P2之间时，函数总是返回1，表示逆时针方向订购。好吧，我猜这只是代码作者假设的约定。

最后，如果两个向量指向同一方向，即当P0 位于P1-P2 段之外时，则根据向量长度（第四个if）做出决定。如果P1 比P2 更接近P0，则报告顺时针排序。否则，如果P2 更接近，则会报告逆时针排序。这也只是代码作者假设的约定。

而且，从其余的代码来看，这不是两条行的交集。它是关于两个段的交集。