余弦距离作为 k 均值的向量距离函数

Question

我有一个包含 N 个顶点的图，其中每个顶点代表一个地方。我也有向量，每个用户一个，N 个系数中的每一个，其中系数的值是在相应地点花费的持续时间（以秒为单位），如果该地点未被访问，则为 0。

例如对于图表：

向量：

v1 = {100, 50, 0 30, 0}

表示我们花费了：

100secs at vertex 1
50secs at vertex 2 and 
30secs at vertex 4 

（未访问的顶点 3 和 5，因此为 0）。

我想运行 k-means 聚类，我选择 cosine_distance = 1 - cosine_similarity 作为距离度量，其中 cosine_similarity 的公式是：

如here 所述。

但我注意到以下内容。假设k=2，其中一个向量是：

v1 = {90,0,0,0,0}

在求解最小化与候选质心总距离的优化问题的过程中，假设在某一点，2个候选质心为：

c1 = {90,90,90,90,90}
c2 = {1000, 1000, 1000, 1000, 1000}

对 (v1, c1) 和 (v1, c2) 运行 cosine_distance 公式，我们得到完全相同的 0.5527864045 距离。

我会假设 v1 与 c1 比 c2 更相似（更接近）。显然情况并非如此。

第一季度。为什么这个假设是错误的？

第二季度。对于这种情况，余弦距离是正确的距离函数吗？

第三季度。考虑到问题的性质，什么会更好？

Answer 1

Q1. Why is this assumption wrong?

正如我们从定义中看到的，余弦相似度衡量的是 2 个向量之间的角度。

在您的情况下，向量 v1 平放在第一维上，而 c1 和 c2 都与轴对齐，因此余弦相似度必须相同.

请注意，问题在于c1 和c2 指向同一方向。 任何 v1 将与它们具有相同的余弦相似度。举例说明：

Q2. Is the cosine distance a correct distance function for this case?

正如我们从手头的例子中看到的那样，可能不是。

Q3. What would be a better one given the nature of the problem?

考虑Euclidean Distance。

Answer 2

余弦相似度适用于您不想考虑长度，而只考虑角度的情况。 如果您还想包括长度，请选择不同的距离函数。

余弦距离与平方欧几里得距离（唯一真正定义k-means的距离）密切相关；这就是球形 k 均值有效的原因。

关系很简单：

平方欧几里得距离sum_i (x_i-y_i)^2 可以分解为sum_i x_i^2 + sum_i y_i^2 - 2 * sum_i x_i*y_i。如果两个向量都被归一化，即长度无关紧要，那么前两项为 1。在这种情况下，平方欧几里得距离为 2 - 2 * cos(x,y)!

换句话说：余弦距离是欧几里得距离的平方，数据归一化为单位长度。

如果您不想标准化数据，请不要使用余弦。

Answer 3

让我们将余弦相似度分成几部分，看看 如何 和 为什么 它起作用。

两个向量之间的余弦 - a 和 b - 定义为：

cos(a, b) = sum(a .* b) / (length(a) * length(b))

其中.* 是逐元素乘法。分母在这里只是为了规范化，所以我们简单地称它为L。有了它，我们的功能变成了：

cos(a, b) = sum(a .* b) / L

这又可以改写为：

cos(a, b) = (a[1]*b[1] + a[2]*b[2] + ... + a[k]*b[k]) / L = 
          = a[1]*b[1]/L + a[2]*b[2]/L + ... + a[k]*b[k]/L

让我们更抽象一点，将x * y / L 替换为函数g(x, y)（L 是常量，所以我们不把它作为函数参数）。因此，我们的余弦函数变为：

cos(a, b) = g(a[1], b[1]) + g(a[2], b[2]) + ... + g(a[n], b[n]) 

也就是说，每对元素(a[i], b[i])被单独处理，结果只是所有处理的总和。这对您的情况有好处，因为您不希望不同的对（不同的顶点）相互混淆：如果 user1 仅访问了 vertex2 和 user2 - 仅访问了 vertex1，那么它们没有任何共同点，它们之间的相似性应该是零。您实际上不喜欢的是如何计算单个对之间的相似性 - 即函数 g() -。

单个对之间的余弦函数相似性如下所示：

g(x, y) = x * y / L

其中x 和y 表示用户在顶点上花费的时间。这里的主要问题是：乘法是否能很好地表示个体对之间的相似性？我不这么认为。在某个顶点上花费 90 秒的用户应该与在那里花费 70 或 110 秒的用户接近，但与在那里花费 1000 或 0 秒的用户更远。乘法（甚至被L 标准化）在这里完全是误导性的。乘以 2 个时间段甚至意味着什么？

好消息是，这是你设计相似函数的人。我们已经决定对对（顶点）的独立处理感到满意，并且我们只希望个体相似度函数g(x, y) 使其参数合理。什么是比较时间段的合理功能？我想说减法是一个不错的选择：

g(x, y) = abs(x - y)

这不是相似度函数，而是距离函数——值越接近，g() 的结果越小——但最终想法是相同的，所以我们可以在需要时互换它们。

我们可能还想通过平方差来增加大不匹配的影响：

g(x, y) = (x - y)^2 

嘿！我们刚刚重新发明了(mean) squared error！我们现在可以坚持 MSE 来计算距离，或者我们可以继续寻找好的g() 函数。

有时我们可能不想增加，而是平滑差异。在这种情况下我们可以使用log：

g(x, y) = log(abs(x - y))

我们可以像这样对零进行特殊处理：

g(x, y) = sign(x)*sign(y)*abs(x - y)   # sign(0) will turn whole expression to 0

或者我们可以通过反转差异从距离回到相似性：

g(x, y) = 1 / abs(x - y)

请注意，在最近的选项中，我们没有使用归一化因子。事实上，您可以为每种情况提出一些好的规范化，或者只是省略它 - 规范化并不总是需要或好的。例如，在余弦相似度公式中，如果将归一化常数L=length(a) * length(b) 更改为L=1，您将得到不同但仍然合理的结果。例如。

cos([90, 90, 90]) == cos(1000, 1000, 1000)  # measuring angle only
cos_no_norm([90, 90, 90]) < cos_no_norm([1000, 1000, 1000])  # measuring both - angle and magnitude

总结这个冗长而无聊的故事，我建议重写余弦相似度/距离，以在两个向量中使用某种变量之间的差异。