如何在 Python 中实现 KS-Test

Question

scipy.stats.kstest(rvs, cdf, N) 可以对数据集rvs 执行 KS-Test。它测试数据集是否遵循概率分布，其cdf 在此方法的参数中指定。

现在考虑一个包含N=4800 样本的数据集。我已经对这些数据执行了 KDE，因此有一个估计的 PDF。这个 PDF 看起来非常像双峰分布。在绘制估计的 PDF 和曲线拟合双峰分布时，这两个图几乎相同。拟合双峰分布的参数为（scale1, mean1, stdv1, scale2, mean2, stdv2）： [0.6 0.036 0.52, 0.23 1.25 0.4]

我如何申请scipy.stats.kstest 来测试我估计的 PDF 是否是双峰分布的？ 作为我的零假设，我声明估计的 PDF 等于以下 PDF：

hypoDist = 0.6*norm(loc=0, scale=0.2).pdf(x_grid) + 0.3*norm(loc=1, scale=0.2).pdf(x_grid)
hypoCdf = np.cumsum(hypoDist)/len(x_grid)

x_grid 只是一个向量，其中包含我评估估计 PDF 的 x 值。所以pdf的每个条目都有一个对应的x_grid的值。可能是我对hypoCdf 的计算不正确。也许我应该除以np.sum(hypoDist)而不是除以len(x_grid)？

挑战：kstest 的cdf 参数不能指定为双峰。我也不能将其指定为hypoDist。

如果我想测试我的数据集是否是高斯分布的，我会这样写：

KS_result = kstest(measurementError, norm(loc=mean(pdf), scale=np.std(pdf)).cdf)
print(KS_result)

measurementError 是我执行 KDE 的数据集。这将返回： statistic=0.459, pvalue=0.0 对我来说，pvalue 是 0.0 有点烦人

Answer 1

kstest 的 cdf 参数可以是一个可调用，它实现了您想要测试数据的分布的累积分布函数。要使用它，您必须实现双峰分布的 CDF。您希望分布是两个正态分布的混合。您可以通过计算构成混合的两个正态分布的 CDF 的加权和来实现此分布的 CDF。

这里有一个脚本，展示了如何做到这一点。为了演示如何使用kstest，脚本运行kstest 两次。首先，它使用分布中非的样本。正如预期的那样，kstest 为第一个样本计算了一个非常小的 p 值。然后它会生成一个从混合物中提取的样本。对于这个样本，p值不小。

import numpy as np
from scipy import stats


def bimodal_cdf(x, weight1, mean1, stdv1, mean2, stdv2):
    """
    CDF of a mixture of two normal distributions.
    """
    return (weight1*stats.norm.cdf(x, mean1, stdv1) +
            (1 - weight1)*stats.norm.cdf(x, mean2, stdv2))


# We only need weight1, since weight2 = 1 - weight1.
weight1 = 0.6
mean1 = 0.036
stdv1 = 0.52
mean2 = 1.25
stdv2 = 0.4

n = 200

# Create a sample from a regular normal distribution that has parameters
# similar to the bimodal distribution.
sample1 = stats.norm.rvs(0.5*(mean1 + mean2), 0.5, size=n)

# The result of kstest should show that sample1 is not from the bimodal
# distribution (i.e. the p-value should be very small).
stat1, pvalue1 = stats.kstest(sample1, cdf=bimodal_cdf,
                              args=(weight1, mean1, stdv2, mean2, stdv2))
print("sample1 p-value =", pvalue1)

# Create a sample from the bimodal distribution.  This sample is the
# concatenation of samples from the two normal distributions that make
# up the bimodal distribution.  The number of samples to take from the
# first distributions is determined by a binomial distribution of n
# samples with probability weight1.
n1 = np.random.binomial(n, p=weight1)
sample2 = np.concatenate((stats.norm.rvs(mean1, stdv1, size=n1),
                         (stats.norm.rvs(mean2, stdv2, size=n - n1))))

# Most of time, the p-value returned by kstest with sample2 will not
# be small.  We expect the value to be uniformly distributed in the interval
# [0, 1], so in general it will not be very small.
stat2, pvalue2 = stats.kstest(sample2, cdf=bimodal_cdf,
                              args=(weight1, mean1, stdv1, mean2, stdv2))
print("sample2 p-value =", pvalue2)

典型输出（每次运行脚本时数字都会不同）：

sample1 p-value = 2.8395166853884146e-11
sample2 p-value = 0.3289374831186403

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您可能会发现，对于您的问题，此测试效果不佳。您有 4800 个样本，但在您的代码中，您的参数的数值只有一位或两位有效数字。除非您有充分的理由相信您的样本是从具有完全这些参数的分布中抽取的，否则kstest 很可能会返回一个非常 小的 p 值。