scipy.optimize.minimize 选择无视约束的参数

Question

我正在运行 scipy.optimize.minimize 试图最大化 Gompertz 分布上左截断数据的可能性。由于数据在1 处被左截断，我得到这种可能性：

# for a single point x_i, the left-truncated log-likelihood is:
#   ln(tau) + tau*(ln(theta) - ln(x_i)) - (theta / x_i) ** tau - ln(x_i) - ln(1 - exp(-(theta / d) ** tau))
def to_minimize(args, data, d=1):
  theta, tau = args
  if tau <= 0 or theta <= 0 or theta / d < 0 or np.exp(-(theta / d) ** tau) >= 1:
    print('ERROR')
  term1 = len(data) * (np.log(tau) + tau * np.log(theta) - np.log(1 - np.exp(-(theta / d) ** tau)))
  term2 = 0
  for x in data:
    term2 += (-(tau + 1) * np.log(x)) - (theta / x) ** tau
  return term1 + term2

这将在if 语句为真的所有情况下失败。换句话说，tau 和theta 必须是严格正数，并且theta ** tau 必须离0 足够远，以便np.exp(-theta ** tau) 离1“足够远”，因为否则对数将是未定义的。

这些是我这样定义的约束。我将符号与dict 一起使用，而不是NonlinearConstraints 对象，因为这种方法似乎接受严格的不等式（np.exp(-x[0] ** x[1]) 必须严格小于1）。也许我误解了这方面的文档。

def constraints(x):
  return [1 - np.exp(-(x[0]) ** x[1])]

为了最大化可能性，我最小化负面可能性。

opt = minimize(lambda args: -to_minimize(args, data),
               x0=np.array((1, 1)), 
               constraints={'type': 'ineq', 'fun': constraints},
               bounds=np.array([(1e-15, 10), (1e-15, 10)]))

在我看来，这两个参数不应该以我的代码失败的方式选择。然而，该算法试图将theta 移动到非常靠近其下限，并将tau 移动到非常靠近其上限，因此对数变得不确定。

是什么让我的代码失败了？

Answer 1

两种形式的约束，即NonlinearConstraint 和dict 约束都不支持严格不等式。因此，通常使用g(x) >= c + Ɛ 来模拟严格的不等式g(x) > c，其中Ɛ 是一个足够小的数字。

另请注意，不能保证每次迭代都位于可行区域内。在内部，大多数方法都试图通过简单的边界裁剪将其带回可行区域。如果这不起作用，您可以尝试NonlinearConstraints keep_feasible 选项，然后使用trust-constr 方法：

import numpy as np
from scipy.optimize import NonlinearConstraint, minimize

def con_fun(x):
    return 1 - np.exp(-(x[0]) ** x[1])

# 1.0e-8 <= con_fun <= np.inf
con = NonlinearConstraint(con_fun, 1.0e-8, np.inf, keep_feasible=True)

x0 = np.array((1., 1.))
bounds = np.array([(1e-5, 10), (1e-5, 10)])

opt = minimize(lambda args: -to_minimize(args, data),
               x0=x0, constraints=(con,),
               bounds=bounds, method="trust-constr")