使用 scipy fft 计算信号的自相关给出了与直接计算不同的答案

Question

我正在尝试使用自相关是功率谱的傅立叶逆变换这一属性来计算信号的自相关。但是，当我使用 scipy（或 numpy）fft 来执行此操作并与自相关函数的直接计算进行比较时，我得到了错误的答案，具体来说，对于较大的延迟时间，fft 版本会以较小的负值趋于平稳，即显然错了。

下面是我的 MWE，以及输出。我是不是用错了fft？

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pl
from scipy.fftpack import fft, ifft


def autocorrelation(x) :
    xp = (x - np.average(x))/np.std(x)
    f = fft(xp)
    p = np.absolute(f)**2
    pi = ifft(p)
    return np.real(pi)[:len(xp)/2]/(len(xp))

def autocorrelation2(x):
    maxdelay = len(x)/5
    N = len(x)
    mean = np.average(x)
    var = np.var(x)
    xp = (x - mean)/np.sqrt(var)
    autocorrelation = np.zeros(maxdelay)
    for r in range(maxdelay):
        for k in range(N-r):
            autocorrelation[r] += xp[k]*xp[k+r]
        autocorrelation[r] /= float(N-r)
    return autocorrelation


def autocorrelation3(x):
    xp = (x - np.mean(x))/np.std(x)
    result = np.correlate(xp, xp, mode='full')
    return result[result.size/2:]/len(xp)

def main():
    t = np.linspace(0,20,1024)
    x = np.exp(-t**2)
    pl.plot(t[:200], autocorrelation(x)[:200],label='scipy fft')
    pl.plot(t[:200], autocorrelation2(x)[:200],label='direct autocorrelation')
    pl.plot(t[:200], autocorrelation3(x)[:200],label='numpy correlate')
    pl.legend()
    pl.show()


if __name__=='__main__':
    main()

Answer 1

离散 FT 假设信号是周期性的。因此，在基于 fft 的代码中，您正在计算环绕自相关。为避免这种情况，您必须使用某种形式的0-padding：

def autocorrelation(x):
    xp = ifftshift((x - np.average(x))/np.std(x))
    n, = xp.shape
    xp = np.r_[xp[:n//2], np.zeros_like(xp), xp[n//2:]]
    f = fft(xp)
    p = np.absolute(f)**2
    pi = ifft(p)
    return np.real(pi)[:n//2]/(np.arange(n//2)[::-1]+n//2)