3D 最小二乘平面

Question

给定一组 3D 数据点，在 (x, y, z) 空间中计算最小二乘平面的算法是什么？换句话说，如果我有一堆点，如 (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) 等，如何计算最佳拟合平面 f (x, y) = ax + by + c?从一组 3D 点中获取 a、b 和 c 的算法是什么？

Answer 1

如果您有 n 个数据点 (x[i], y[i], z[i])，请计算 3x3 对称矩阵 A，其条目为：

sum_i x[i]*x[i],    sum_i x[i]*y[i],    sum_i x[i]
sum_i x[i]*y[i],    sum_i y[i]*y[i],    sum_i y[i]
sum_i x[i],         sum_i y[i],         n

同时计算 3 元素向量 b：

{sum_i x[i]*z[i],   sum_i y[i]*z[i],    sum_i z[i]}

然后对给定的 A 和 b 求解 Ax = b。解向量的三个分量是最小二乘拟合平面 {a,b,c} 的系数。

请注意，这是“普通最小二乘法”拟合，仅当预期 z 是 x 和 y 的线性函数时才适用。如果您更一般地在 3 空间中寻找“最佳拟合平面”，您可能需要了解“几何”最小二乘法。

另请注意，如果您的点在一条线上，就像您的示例点一样，这将失败。

Answer 2

平面的方程是：ax + by + c = z。所以用你的所有数据设置这样的矩阵：

    x_0   y_0   1  
A = x_1   y_1   1  
          ... 
    x_n   y_n   1  

和

    a  
x = b  
    c

和

    z_0   
B = z_1   
    ...   
    z_n

换句话说：Ax = B。现在求解x，它们是你的系数。但是因为（我假设）你有超过 3 个点，系统是超定的，所以你需要使用左伪逆。所以答案是：

a 
b = (A^T A)^-1 A^T B
c

下面是一些简单的 Python 代码和示例：

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np

N_POINTS = 10
TARGET_X_SLOPE = 2
TARGET_y_SLOPE = 3
TARGET_OFFSET  = 5
EXTENTS = 5
NOISE = 5

# create random data
xs = [np.random.uniform(2*EXTENTS)-EXTENTS for i in range(N_POINTS)]
ys = [np.random.uniform(2*EXTENTS)-EXTENTS for i in range(N_POINTS)]
zs = []
for i in range(N_POINTS):
    zs.append(xs[i]*TARGET_X_SLOPE + \
              ys[i]*TARGET_y_SLOPE + \
              TARGET_OFFSET + np.random.normal(scale=NOISE))

# plot raw data
plt.figure()
ax = plt.subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(xs, ys, zs, color='b')

# do fit
tmp_A = []
tmp_b = []
for i in range(len(xs)):
    tmp_A.append([xs[i], ys[i], 1])
    tmp_b.append(zs[i])
b = np.matrix(tmp_b).T
A = np.matrix(tmp_A)
fit = (A.T * A).I * A.T * b
errors = b - A * fit
residual = np.linalg.norm(errors)

print "solution:"
print "%f x + %f y + %f = z" % (fit[0], fit[1], fit[2])
print "errors:"
print errors
print "residual:"
print residual

# plot plane
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()
X,Y = np.meshgrid(np.arange(xlim[0], xlim[1]),
                  np.arange(ylim[0], ylim[1]))
Z = np.zeros(X.shape)
for r in range(X.shape[0]):
    for c in range(X.shape[1]):
        Z[r,c] = fit[0] * X[r,c] + fit[1] * Y[r,c] + fit[2]
ax.plot_wireframe(X,Y,Z, color='k')

ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.show()

Answer 3

除非有人告诉我如何在这里输入方程式，否则让我写下你必须做的最终计算：

首先，给定点r_i \n \R，i=1..N，计算所有点的质心：

r_G = \frac{\sum_{i=1}^N r_i}{N}

然后，计算法向量n，它与基向量r_G一起通过计算3x3矩阵A来定义平面

A = \sum_{i=1}^N (r_i - r_G)(r_i - r_G)^T

有了这个矩阵，法线向量 n 现在由 A 的特征向量给出，对应于 A 的最小特征值。

要了解特征向量/特征值对，请使用您选择的任何线性代数库。

此解决方案基于 Hermitian 矩阵 A 的 Rayleight-Ritz 定理。

Answer 4

请参阅 David Eberly 的“数据的最小二乘拟合”，了解我是如何提出这个以最小化几何拟合（从点到平面的正交距离）的。

bool Geom_utils::Fit_plane_direct(const arma::mat& pts_in, Plane& plane_out)
{
    bool success(false);
    int K(pts_in.n_cols);
    if(pts_in.n_rows == 3 && K > 2)  // check for bad sizing and indeterminate case
    {
        plane_out._p_3 = (1.0/static_cast<double>(K))*arma::sum(pts_in,1);
        arma::mat A(pts_in);
        A.each_col() -= plane_out._p_3; //[x1-p, x2-p, ..., xk-p]
        arma::mat33 M(A*A.t());
        arma::vec3 D;
        arma::mat33 V;
        if(arma::eig_sym(D,V,M))
        {
            // diagonalization succeeded
            plane_out._n_3 = V.col(0); // in ascending order by default
            if(plane_out._n_3(2) < 0)
            {
                plane_out._n_3 = -plane_out._n_3; // upward pointing
            }
            success = true;
        }
    }
    return success;
}

时间为 37 微秒将平面拟合到 1000 个点（Windows 7、i7、32 位程序）

Answer 5

与任何最小二乘法一样，您可以这样进行：

开始编码之前

1. 在参数化(a, b, d) 中写下一个平面方程，例如0 = ax + by + z + d。

2. 找到一个表达式D(\vec{v};a, b, d)，表示到任意点\vec{v}的距离。

3. 写下 S = \sigma_i=0,n D^2(\vec{x}_i) 的总和，并进行化简，直到用 v 的各分量的简单总和表示，例如 \sigma v_x、\sigma v_y^2、\sigma v_x*v_z ...

4. 写下每个参数的最小化表达式dS/dx_0 = 0、dS/dy_0 = 0 ... 这会为您提供一组三个参数中的三个方程以及上一步的总和。

5. 求解这组方程的参数。

（或者对于简单的情况，只需查找表单）。使用符号代数包（如 Mathematica）可以让您的生活更轻松。

编码

• 编写代码以形成所需的总和并从上面最后一组中找到参数。

替代方案

请注意，如果您实际上只有三个点，您最好只找到穿过它们的平面。

此外，如果解析解不可行（不是飞机的情况，但一般情况下可能），您可以执行步骤 1 和 2，并在步骤 3 的总和上使用 Monte Carlo minimizer。

Answer 6

CGAL::linear_least_squares_fitting_3

函数 linear_least_squares_fitting_3 计算最佳拟合 3D 一组 3D 对象的线或平面（在最小二乘意义上），例如 作为点、线段、三角形、球体、球、长方体或四面体。

http://www.cgal.org/Manual/latest/doc_html/cgal_manual/Principal_component_analysis_ref/Function_linear_least_squares_fitting_3.html

Answer 7

这简化为Total Least Squares 问题，可以使用SVD 分解来解决。

使用 OpenCV 的 C++ 代码：

float fitPlaneToSetOfPoints(const std::vector<cv::Point3f> &pts, cv::Point3f &p0, cv::Vec3f &nml) {
    const int SCALAR_TYPE = CV_32F;
    typedef float ScalarType;

    // Calculate centroid
    p0 = cv::Point3f(0,0,0);
    for (int i = 0; i < pts.size(); ++i)
        p0 = p0 + conv<cv::Vec3f>(pts[i]);
    p0 *= 1.0/pts.size();

    // Compose data matrix subtracting the centroid from each point
    cv::Mat Q(pts.size(), 3, SCALAR_TYPE);
    for (int i = 0; i < pts.size(); ++i) {
        Q.at<ScalarType>(i,0) = pts[i].x - p0.x;
        Q.at<ScalarType>(i,1) = pts[i].y - p0.y;
        Q.at<ScalarType>(i,2) = pts[i].z - p0.z;
    }

    // Compute SVD decomposition and the Total Least Squares solution, which is the eigenvector corresponding to the least eigenvalue
    cv::SVD svd(Q, cv::SVD::MODIFY_A|cv::SVD::FULL_UV);
    nml = svd.vt.row(2);

    // Calculate the actual RMS error
    float err = 0;
    for (int i = 0; i < pts.size(); ++i)
        err += powf(nml.dot(pts[i] - p0), 2);
    err = sqrtf(err / pts.size());

    return err;
}

Answer 8

听起来您想要做的就是使用 2 个回归器进行线性回归。关于这个主题的wikipedia page 应该告诉你所有你需要知道的，然后是一些。

Answer 9

你所要做的就是解方程组。

如果这些是你的观点： (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)

这给了你方程式：

3=a*1 + b*2 + c
6=a*4 + b*5 + c
9=a*7 + b*8 + c

所以你的问题实际上应该是：我如何求解方程组？

因此我建议阅读this SO question。

如果我误解了您的问题，请告诉我们。

编辑：

忽略我的回答，因为你可能是别的意思。