用初学者的话来说，NaN（非数字）是什么？ [关闭]答案

Why is the result of 0.0 / 0.0 declared as undefined? Shouldn´t it be 0? 为什么应该是0？什么东西除以0？不是 0。
请只问一个问题
另外，您的大部分问题都应该在数学 QA 网站上提出，而不是在编程网站上提出。
@tkausl lim x->0 x*x / x = 0
@ThomasSablik 为什么选择x*x 作为分子？您可以使用这样的限制和适当的分子生成任何结果。

标签： math floating-point nan ieee-754

【解决方案1】：

浮点数被编码为位模式，但并非所有可用的位模式（对于给定的位数）都被使用，因此有些位模式不编码任何浮点数。如果找到此类模式，它们将被视为/显示为 NaN。

【讨论】：

NaN 的存在不仅仅是因为 IEEE-754 的设计者忽略了使用所有可用的位模式。它们的存在是有意的、设计的和有目的的。模式不仅仅是“找到”的；它们是通过初始化故意设置的，或者是指定的操作结果。

【解决方案2】：

数学数字系统包含一组值。例如，正整数是 0、1、2、3、4 等。负整数是 -1、-2、-3、-4 等（也可能是 -0，取决于你的数学分支）。

在计算机领域，浮点数还具有“无穷大”和“非数字”等概念。这就像数字的“NULL”。它的意思是“浮点值不代表数学意义上的数字”。

当程序员有一个float，但他们不想给出数字值时，它们很有用，并且浮点标准也使用它们来表示“无效”的结果操作。

例如，您可以通过将零除以零来获得 NaN，这是我所知道的任何数学分支中没有任何意义的操作：您如何在 no 人？。

（如果您尝试对没有 NaN 或无穷大概念的整数执行此操作，则会得到一个 [terribly-named] “浮点异常”；换句话说，您的程序将崩溃。）

在Wikipedia's article about NaN 上阅读更多信息，它几乎可以回答您的所有问题。

【讨论】：

【解决方案3】：

有关摘要，您可以查看wikiedia page：

在计算中，NaN，代表非数字，是数字的成员可以解释为未定义值的数据类型或无法表示，尤其是在浮点运算中。系统的 IEEE 754 浮点标准在 1985 年，连同其他非有限量的表示比如无穷大。

在实际方面，我会指出这一点：

如果 x 或 y 是 NaN 浮点数：则表达式如下：

x<y
x<=y
x>y
x>=y
x==x

总是假的。不过，

x!=x

将为 true，这是一种检查 x 是否为 NaN 的方法（请参阅 std::isnan）。

另一个说明是，当数值计算中出现一些 NaN 时，您可能会观察到 大幅减速（这也可能是调试时的提示）

Intel CPU 上的 NaN 操作可能会产生异常调用微码，因此相对减速可能变化很大与 CPU 型号。

例如见NaN slowdown

【讨论】：

【解决方案4】：

您在这里提出了一系列很好的问题。这是我试图解决每个问题的尝试。

究竟什么是 NaN 值或 NaN（用非数学教授的话来说）？

假设您正在处理实数 - 1、π、e、-137、6.626 等数字。在实数领域，通常可以进行一些操作执行，但有时没有定义的结果。例如，让我们看一下对数。您可以取许多实数的对数：例如，ln e = 1，而 ln 10 约为 2.3。但是，从数学上讲，负数的对数没有定义。也就是说，我们不能取 ln (-4) 并返回一个实数。

所以现在，让我们跳到编程领域。想象一下，你正在编写一个程序来计算一个数字的对数，并且用户希望你以某种方式除以一个负数的对数。应该怎么办？

这个问题有很多合理的答案。您可以让操作引发异常，这在 Python 等某些语言中完成。

然而，在硬件层面（由设计 IEEE-754 标准的人）做出的决定是为程序员提供第二个选择。与其让程序崩溃，不如让操作产生一个值，表示“你想让我做一些不可能的事情，所以我报告一个错误”。完成此操作的方法是让运算产生特殊值 NaN（“非数字”），这表明在您的计算中，您尝试执行数学上未定义的运算。

这种方法有一些优点。在许多科学计算设置中，代码执行一系列长计算，定期生成可能感兴趣的中间结果。通过让未定义的操作产生 NaN 作为结果，程序员可以编写代码，按照他们的意愿进行数学运算，然后在代码中引入特定点，他们将测试操作是否成功或不。从那里，他们可以决定做什么。与触发异常或彻底崩溃程序相比，这意味着程序员要么需要保护每一系列可能失败的浮点操作，要么必须自己手动测试。这是关于哪个选项更好的判断调用，这就是您可以启用或禁用浮点 NaN 行为的原因。

导致 NaN 值作为结果的操作是什么？

有很多方法可以从操作中获取NaN 结果。这是一个采样器，虽然这不是一个详尽的列表：

取负数的日志。
取负数的平方根。
从无穷大中减去无穷大。
对NaN 执行任何算术运算。

然而，有些运算不会产生NaN，即使它们在数学上是未定义的。例如，将正数除以零会得到正无穷大，即使这不是数学定义的。这样做的原因是，如果当 y 从正方向趋近于零时，对于正 x 取 x / y 的限制，则值会无限增长。

为什么 0.0 / 0.0 的结果声明为未定义？不应该是0吗？

这更像是一道数学题。这与限制的工作方式有关。让我们考虑如何定义 0 / 0。一种选择是这样说：如果我们查看表达式 0 / x 并在 x 接近零时取极限，那么我们会在每个点看到 0，所以极限应该为零。另一方面，如果我们查看表达式 x / x 并在 x 接近 0 时取极限，我们会在每个点看到 1，因此极限应该是 1。这是有问题的，因为我们希望 0 / 0 的值与您在评估这些表达式中的任何一个时发现的值一致，但我们无法选择一个有意义的固定值。结果，0 / 0 的值被评估为NaN，表明这里没有明确的值可分配。

为什么任何数学运算的结果都不能用浮点数或整数表示？一个值怎么会是不可表示的？

这与 IEEE-754 浮点数的内部有关。直观地说，这归结为一个简单的事实：

实数有无限多，其中有无限多的非重复小数是无限长的，但是
您的计算机内存有限。

因此，存储任意实数可能需要存储无限长的数字序列，而我们的有限内存计算机无法做到这一点。因此，我们有浮点数存储近似值的实数并不是非常庞大，而无法表示值的原因是我们只是存储了近似值。

有关数字实际存储方式的更多信息，以及这在实践中的含义，请查看传奇指南"What Every Programmer Should Know About Floating-Point Arithmetic"

为什么负数的平方根不是实数？

我们以 √(-1) 为例。想象这是一个实数 x；也就是说，假设 x = √(-1)。平方根的概念是，它是一个数字，如果与自身相乘，则返回取平方根的数字。

那么... x 是多少？我们知道 x ≠ 0，因为 0² = 0 不是 -1。我们也知道 x 不可能是正数，因为任何正数乘以自身都是正数。而且我们也知道x不可能是负数，因为任何负数乘以自身都是正数。

我们现在有一个问题。无论这个 x 是什么，它都必须不是正数，不是零，也不是负数。这意味着它不是一个实数。

您可以通过引入数字 i 将实数推广到复数，其中 i² = -1。请注意，由于上述原因，没有实数会这样做。

为什么 NaN 不等于不定？

“不定”和“不管它是什么，它都不是一个实数”是有区别的。例如，0 / 0 可以说是不确定的，因为根据你接近 0 / 0 的方式，你可能会得到 0、1 或其他东西。另一方面，√(-1) 被完美地定义为复数（假设我们有 √(-1) 返回 i 而不是 -i），所以问题不在于“这是不确定的”作为“它有一个值，但该值不是实数。”

希望这会有所帮助！

【讨论】：

设计 IEEE 754 的人并没有决定让操作返回 NaN。他们决定给程序员选择。浮点异常可以被捕获或产生默认结果。这旨在成为程序员的选择，但 IEEE 754 的不完整实现可能无法提供该选择。此类实现的实现者负责决定生成 NaN 而不是陷阱，而不是 IEEE-754 委员会。
@EricPostpischil 感谢您的更正！答案已更新。
@templatetypedef 非常感谢，这就是我想要的答案。我需要一段时间来详细介绍所有事情。非常感谢。