Python是如何实现内置函数pow()的？答案

【问题标题】：How did Python implement the built-in function pow()?Python是如何实现内置函数pow()的？
【发布时间】：2011-03-09 14:01:18
【问题描述】：

我必须编写一个程序来计算a**b % c，其中b 和c 都是非常大的数字。如果我只使用a**b % c，它真的很慢。然后我发现内置函数pow()可以通过调用pow(a, b, c)来做这个非常快的。
我很想知道 Python 是如何实现这一点的？或者我在哪里可以找到实现这个功能的源代码文件？

【问题讨论】：

cpython 源代码库位于hg.python.org/cpython
...在 Objects/longobject.c:long_pow() 下（正如 JimB 已经评论的那样）。

标签： python algorithm math

【解决方案1】：

如果a、b和c是整数，则可以通过binary exponentiation和在每个步骤中减少模c来提高实现效率，包括第一个步骤（即减少a模c 在你开始之前）。这确实是the implementation of long_pow() 所做的。该函数有两百多行代码，因为它必须处理引用计数，并且它处理负指数和一大堆特殊情况。

不过，算法的核心思想相当简单。假设我们要计算正整数a 和b 的a ** b，而b 具有二进制数字b_i。那么我们可以把b写成

b = b_0 + b1 * 2 + b2 * 2**2 + ... + b_k ** 2**k

ans a ** b 为

a ** b = a**b0 * (a**2)**b1 * (a**2**2)**b2 * ... * (a**2**k)**b_k

此产品中的每个因子的格式为(a**2**i)**b_i。如果b_i 为零，我们可以简单地省略该因子。如果b_i 为1，则因子等于a**2**i，并且可以通过重复对a 求平方来计算所有i 的这些幂。总的来说，我们需要将k 乘以平方和乘以，其中k 是b 的二进制位数。

如上所述，对于pow(a, b, c)，我们可以在每一步中减少模c，无论是在平方之后还是在相乘之后。

【讨论】：

为什么我们可以在每一步中减少模c？
@BenSandler：因为 a ≡ a' (mod c) 和 b ≡ b' (mod c) 隐含 ab ≡ a'b' (mod c i>)，或者换句话说，你是否先减少 a 和 b 模 c 然后将它们相乘，或者先将它们相乘，然后对 c 取模。见the Wikipedia article on modular arithmetic。
请注意，long_pow 现在在该文件的另一行定义：github.com/python/cpython/blob/master/Objects/…
@JohanC 我已经更新了链接以包含提交哈希，所以它不再过时了。

【解决方案2】：

您可以考虑使用以下两种实现来快速计算(x ** y) % z。

在 Python 中：

def pow_mod(x, y, z):
    "Calculate (x ** y) % z efficiently."
    number = 1
    while y:
        if y & 1:
            number = number * x % z
        y >>= 1
        x = x * x % z
    return number

在 C 中：

#include <stdio.h>

unsigned long pow_mod(unsigned short x, unsigned long y, unsigned short z)
{
    unsigned long number = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1)
            number = number * x % z;
        y >>= 1;
        x = (unsigned long)x * x % z;
    }
    return number;
}

int main()
{
    printf("%d\n", pow_mod(63437, 3935969939, 20628));
    return 0;
}

【讨论】：

@Noctis，我尝试运行您的 Python 实现并得到了这个：TypeError: ufunc 'bitwise_and' not supported for the input types，并且输入无法根据强制转换安全地强制转换为任何支持的类型rule ''safe'' ---- 当我现在正在学习 Python 时，我想你可能对这个错误有所了解（搜索表明它可能是一个错误，但我认为有一个快速的解决方法）
@stackuser：在以下演示中它似乎工作正常：ideone.com/sYzqZN
谁能解释为什么这个解决方案有效？我无法理解这个算法背后的逻辑。
@NoctisSkytower，考虑到原生 python pow() 内置函数也支持这一点并且看起来更快，这样做有什么好处？ >>> st_pow = 'pow(65537L, 767587L, 14971787L) >>> st_pow_mod = 'pow_mod(65537L, 767587L, 14971787L)' >>> timeit.timeit(st_pow) 4.510787010192871 >>> timeit.timeit(st_pow_mod, def_pow_mod) 10.135776996612549
@Fabiano 我的函数不应该被使用。这只是对 Python 如何在幕后工作的解释，而没有提及它在 C 中的源代码。我试图回答 wong2 的关于 pow 是如何实现的问题。

【解决方案3】：

我不知道python，但是如果你需要快速的幂，你可以使用平方乘幂：

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring

这是一种简单的递归方法，使用指数的交换性质。

【讨论】：

【解决方案4】：

this file 的第 1426 行显示了实现 math.pow 的 Python 代码，但基本上归结为它调用标准 C 库，该库可能具有该函数的高度优化版本。

Python 对于密集的数字运算可能会很慢，但Psyco 可以为您提供相当快的速度提升，但它不如调用标准库的 C 代码那么好。

【讨论】：

math.pow() 没有模参数，并且与内置 pow() 的功能不同。另外仅供参考，Psyco 变得非常陈旧，并且没有 64 位支持。 NumPy 非常适合严肃的数学。

【解决方案5】：

Python 将 C 数学库用于一般情况，并将其自己的逻辑用于其某些概念（例如无穷大）。

【讨论】：

【解决方案6】：

在 Python 中实现 pow(x,n)

def myPow(x, n):
        p = 1
        if n<0:
            x = 1/x
            n = abs(n)

        # Exponentiation by Squaring

        while n:
            if n%2:
                p*= x
            x*=x
            n//=2
        return p

在 Python 中实现 pow(x,n,m)

def myPow(x,n,m):
            p = 1
            if n<0:
                x = 1/x
                n = abs(n)
            while n:
                if n%2:
                    p*= x%m
                x*=x%m
                n//=2
            return p

查看此link 以获得解释

【讨论】：