包含苹果的网格

Question

我在编程论坛上发现了这个问题：

给定一个由 N*M 个单元组成的表格，每个单元有一定数量的苹果。你从左上角开始。在每一步中，您可以向下或向右移动一个单元格。如果您从左上角移动到右下角，请设计一种算法来找到您可以收集的最大苹果数。

我想到了三种不同的复杂性[在时间和空间方面]：

方法1[最快]：

for(j=1,i=0;j<column;j++)
    apple[i][j]=apple[i][j-1]+apple[i][j];
for(i=1,j=0;i<row;i++)
    apple[i][j]=apple[i-1][j]+apple[i][j];

for(i=1;i<row;i++)
{
    for(j=1;j<column;j++)
    {
        if(apple[i][j-1]>=apple[i-1][j])
            apple[i][j]=apple[i][j]+apple[i][j-1];
        else
            apple[i][j]=apple[i][j]+apple[i-1][j];
    }
}
printf("\n maximum apple u can pick=%d",apple[row-1][column-1]);    

方法二：

result 是所有槽初始为 0 的临时数组。

int getMax(int i, int j)
{
    if( (i<ROW) && (j<COL) )
    {
        if( result[i][j] != 0 )
            return result[i][j];
        else
        {
            int right = getMax(i, j+1);
            int down = getMax(i+1, j);

            result[i][j] = ( (right>down) ? right : down )+apples[i][j];
            return result[i][j];
        }
    }
    else
        return 0;
}

方法3[使用最少的空间]：

它不使用任何临时数组。

int getMax(int i, int j)
{
    if( (i<M) && (j<N) )
    {
            int right = getMax(i, j+1);
            int down = getMax(i+1, j);
            return apples[i][j]+(right>down?right:down);
    }
    else
        return 0;
}

我想知道解决这个问题的最佳方法是什么？

Answer 1

方法 1 和 2 之间几乎没有区别，方法 1 可能稍微好一点，因为它不需要堆栈来进行方法 2 使用的递归，因为这会倒退。

方法 3 具有指数时间复杂度，因此它比其他两种复杂度为 O(rows*columns) 的方法差得多。

您可以制作方法 1 的变体，沿对角线前进以仅使用 O(max{rows,columns}) 额外空间。

Answer 2

就时间而言，解决方案 1 是最好的，因为没有递归函数。 递归函数的调用需要时间

Answer 3

改进第一种方法

你真的需要临时数组是 N 乘 M 吗？

没有。

如果初始二维数组有 N 列和 M 行，我们可以用长度为 M 的一维数组来解决这个问题。

方法

在您的第一种方法中，您可以随时保存所有小计，但是当您移动到下一列时，您实际上只需要知道左侧和上方单元格的苹果值。一旦你确定了这一点，你就不会再看那些以前的单元格了。

然后解决方案是在您从下一列开始时改写旧值。

代码将如下所示（我实际上不是 C 程序员，请耐心等待）：

代码

int getMax()
{
    //apple[][] is the original apple array
    //N is # of columns of apple[][]
    //M is # of rows of apple[][]
    //temp[] is initialized to zeroes, and has length M

    for (int currentCol = 0; currentCol < N; currentCol++)
    {
        temp[0] += apple[currentCol][0]; //Nothing above top row

        for (int i = 1; i < M; i++)
        {
            int applesToLeft = temp[i];
            int applesAbove = temp[i-1];

            if (applesToLeft > applesAbove)
            {
                temp[i] = applesToLeft + apple[currentCol][i];
            }
            else
            {
                temp[i] = applesAbove + apple[currentCol][i];
            }
        }
    }

    return temp[M - 1];
}

注意：没有任何理由将 applesToLeft 和 applesAbove 的值实际存储到局部变量中，您可以随意使用 ? : 赋值的语法。

此外，如果列数少于行数，您应该旋转它，使一维数组的长度更短。

这样做是对您的第一种方法的直接改进，因为它可以节省内存，而且迭代相同的一维数组确实有助于缓存。

我只能想到一个使用不同方法的原因：

多线程

为了在这个问题上获得多线程的好处，你的第二种方法是正确的。

在您的第二种方法中，您使用备忘录来存储中间结果。

如果您使您的备忘录线程安全（通过锁定或使用无锁哈希集），那么您可以启动多个线程都试图获得右下角的答案。

[// 编辑：实际上由于将整数分配给数组是一个原子操作，我认为您根本不需要锁定]。

让每次调用 getMax 随机选择是先做左边的 getMax 还是上面的 getMax。

这意味着每个线程处理问题的不同部分，并且由于有备忘录，它不会重复不同线程已经完成的工作。