这个乘除函数正确吗？答案

【问题标题】：Is this multiply-divide function correct?这个乘除函数正确吗？
【发布时间】：2012-04-25 19:11:31
【问题描述】：

我试图在某些计算中避免long longs 和整数溢出，所以我想出了下面的函数来计算(a * b) / c（由于截断整数除法，顺序很重要）。

 unsigned muldiv(unsigned a, unsigned b, unsigned c)
 {
      return a * (b / c) + (a * (b % c)) / c;
 }

是否有任何边缘情况无法按预期工作？

【问题讨论】：

你没有说为什么你要避免long long，但如果是为了速度，我强烈怀疑任何额外的 div/mod 操作都会使节省的费用相形见绌。
我假设你已经检查了c=0。
您没有提到您是否希望输出为整数或双精度 - 因为您正在进行除法。如果这是您担心的溢出问题，那么您可以标准化“a”、“b”和“c”，然后（取消）标准化结果。通过归一化，我的意思是除/乘以 10 的幂。
@Ben Jackson：我并没有避免 long long 的速度，这是一个任意的约束。 @twain249：是的，是的，我有。 @Santosh Tiwari：函数签名的返回类型为unsigned，所以它是整数输出。
另外，如果(a * b) / c 不适合，我确实希望使用通常的无符号包装。

标签： c++ c algorithm math numbers

【解决方案1】：

已编辑：这对于原始明显逻辑正确的值的超集是正确的。如果c > b 并且可能在其他情况下，它仍然不会给您带来任何好处。也许您对c 的价值观有所了解，但这可能不会像您期望的那样有帮助。 a、b、c 的某些组合仍会溢出。

编辑：假设您出于严格的 C++98 可移植性原因避免使用 long long，则可以通过将 unsigned 提升为恰好具有整数值的 doubles 来获得大约 52 位的精度数学。使用double 数学实际上可能比进行三个整数除法更快。

【讨论】：

如果c > b 这变成(a * b) / c，因为第一个术语退出并且b % c = b。也因为那将是 a 它不能溢出（因为a 适合）。
也许，但我不确定我能否可靠地计算出所有可能的(a * b) / c和double。
@Electro 你不能，但取决于你的b、b、c 的分布，它可能比你原来的方法要多得多。如果您真的需要能够处理所有可能的输入值，我强烈建议您咬紧牙关并使用long long。
我也完全有可能必须用unsigned long longs 进行乘除，只要你不使用 GMP 之类的东西就可以了。我只想知道对于任何无符号整数a、b 和c，此过程是否适用于 C++98。

【解决方案2】：

这在很多情况下都失败了。最明显的是当a 很大时，所以a * (b % c) 溢出。在这种情况下，您可以尝试交换 a 和 b，但如果 a、b 和 c 都很大，则仍然会失败。考虑具有 32 位无符号的 a = b = 2^25-1 和 c = 2^24。正确的结果是 2^26-4，但是a * (b % c) 和b * (a % c) 都会溢出。即使(a % c) * (b % c) 也会溢出。

到目前为止，解决这个问题的最简单方法通常是扩大乘法，这样您就可以获得更高精度的中间产品。如果你没有这个，你需要用更小的乘法和除法来合成它，这与实现你自己的大整数库几乎是一样的。

如果你能保证c 足够小，(c-1)*(c-1) 不会溢出无符号，你可以使用：

unsigned muldiv(unsigned a, unsigned b, unsigned c) {
    return (a/c)*(b/c)*c + (a%c)*(b/c) + (a/c)*(b%c) + (a%c)*(b%c)/c;
}

这实际上将为您提供所有 a 和 b 的“正确”答案 -- (a * b)/c % (UINT_MAX+1)

【讨论】：

【解决方案3】：

为避免溢出，您必须先除法，然后再乘以某个因子。

最好使用 c，只要 a 和 b 之一（或两者）大于 c。这就是 Chris Dodd 的功能所做的。它具有 ((a % c) * (b % c)) 的最大中间值，正如 Chris 所指出的，它小于或等于 ((c-1)*(c-1))。

如果您可能遇到 a 和 b 都小于 c 的情况，但 (a * b) 仍然可能溢出（当 c 接近字长限制时可能会出现这种情况），那么最好的因素是使用是二的大幂，将乘除变为移位。尝试移动一半的字长。

请注意，在没有更长的单词可用时，使用预除法然后乘法相当于使用更长的单词。假设您不丢弃低位，而只是将它们作为另一个术语添加，那么您只是使用了几个词而不是一个更大的词。

我会让你填写代码。

【讨论】：