计算c中e位数的应用程序

Question

谁能解释一下这段计算e的代码是如何工作的？对于如此复杂的任务看起来很容易，但我什至无法理解这个过程。它是由 Xavier Gourdon 于 1999 年创建的。

int main() {

  int N = 9009, a[9009], x = 0;
  for (int n = N - 1; n > 0; --n) {
      a[n] = 1;
  }
  a[1] = 2, a[0] = 0;
  while (N > 9) {
      int n = N--;
      while (--n) {
          a[n] = x % n;
          x = 10 * a[n-1] + x/n;
      }
      printf("%d", x);
  }
  return 0;
}

Answer 1

我将算法追溯到 1995 年 Stanley Rabinowitz and Stan Wagon 的一篇论文。挺有意思的。

先介绍一下背景。从e的普通十进制表示开始：

e = 2.718281828...

这可以表示为如下的无限和：

e = 2 + ¹⁄₁₀(7 + ¹⁄₁₀(1 + ¹⁄₁₀(8 + ¹⁄₁₀(2 + ¹⁄₁₀( 8 + ¹⁄₁₀(1 ...

显然这不是一个特别有用的表示；我们只是将相同的 e 数字包裹在一个复杂的表达式中。

但是看看当我们用自然数的倒数替换这些 ¹⁄₁₀ 因子时会发生什么：

e = 2 + ¹⁄₂(1 + ¹⁄₃(1 + ¹⁄₄(1 + ¹⁄₅(1 + ¹⁄₆( 1 + ¹⁄₇(1 ...

这种所谓的 mixed-radix 表示为我们提供了一个序列，该序列由数字 2 和一个重复的 1 序列组成。很容易看出为什么会这样。当我们扩展括号时，我们最终得到了著名的 e 泰勒级数：

e = 1 + 1 + 1/2！ + 1/3！ + 1/4！ + 1/5！ + 1/6！ + 1/7！ + ...

那么这个算法是如何工作的呢？好吧，我们首先用混合基数 (0; 2; 1; 1; 1; 1; 1; ...) 填充一个数组。为了生成每个连续的数字，我们只需将该数字乘以 10 并吐出最左边的数字。*

但是由于数字以混合基数形式表示，我们必须在每个数字处使用不同的基数。为此，我们从右到左工作，将第 n 位乘以 10，并将其替换为模 n 的结果值。如果结果大于或等于 n，我们将值 x/n 移动到左边的下一位。 （除以 n 将基数从 1/n! 更改为 1/(n-1)!，这就是我们想要的）。这实际上是内部循环的作用：

  while (--n) {
      a[n] = x % n;
      x = 10 * a[n-1] + x/n;
  }

这里，x在程序开始时被初始化为零，而数组开始处的初始0确保每次内循环结束时它都被重置为零。结果，随着程序的运行，数组将逐渐从右侧填充零。这就是为什么 n 可以在外循环的每一步都用递减的值 N 来初始化。

可能包含数组末尾的额外 9 位数字以防止舍入错误。运行此代码时，x 达到最大值 89671，这意味着商将跨越多个数字。

注意事项：

1. 这是spigot algorithm 的一种类型，因为它使用简单的整数运算输出e 的连续数字。

2. Rabinowitz 和 Wagon 在他们的论文中指出，this algorithm was actually invented 50 years ago by A.H.J. Sale

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^{* 除了第一次迭代输出两位数（“27”）}