具有两个输入的递归函数的运行时间

Question

我一直在解决一些面试问题，练习，但我仍然在努力确定一些递归函数的运行时间。 我要解决的问题是：

想象一个机器人坐在 X x Y 网格的左上角。 机器人只能在 2 个方向上移动：向右和向下。多少 机器人从 (0, 0) 到 (X, Y) 有可能的路径吗？

我的解决方案（Java）：

public int totalPossiblePaths(int X, int Y) {
    if(X < 0 || Y < 0) {
        return 0;
    }
    if(X == 0 && Y ==0) {
        return 1;
    }
    return totalPossiblePaths(X - 1, Y) +
           totalPossiblePaths(X, Y - 1);
}

此外，我对这个程序的空间和时间复杂度进行了分析，就大哦而言，因为面试需要我知道。 我得出的结论是空间复杂度是：

O(X + Y)

由于最多有 X 次递归调用，然后是 Y 次递归调用，因此最多 X+Y 次函数调用将被压入堆栈。

但是，运行时间复杂度对我来说不是很清楚。 我已经绘制了递归树，很明显递归是（至少）指数的。 我似乎无法确定 X 和 Y 之间的关系。

示例递归（没有调用 X

    F(3, 2) = F(2, 2) + F(3, 1)
            = F(1, 2) + F(2, 1) + F(2, 1) + F(3, 0)
            = F(0, 2) + F(1, 1) + F(1, 1) + F(2, 0) + F(1, 1) + F(2, 0) + F(2, 0)
            = F(0, 1) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(1, 0) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(1, 0) + F(1, 0)
            = F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0)

最后一级有 10 个元素（返回值 1），即从 (0, 0) 到达 (3, 2) 的可能路径数。 根据我的直觉，我认为运行时间相对于 X 和 Y 会增长：

O(2^X * 2^Y) = O(2^(X + Y))

此外，我添加了一个计数器，它随着每次递归调用而递增，以查看函数被调用了多少次。对于上面的例子，函数被调用了 49 次。 该函数成功传递了两个if 语句24 次，并尝试再进行2 次递归调用。

这让我更加怀疑自己的直觉。

谁能帮我分析这个（和类似的）递归函数来确定时间复杂度？ 我不是在找你们费心向我解释如何解决这个问题，但也许是一些一般性的指示或建议？谢谢。

Answer 1

棘手，每个问题都是不同的。从计算调用次数的电子表格开始，以了解问题。

如果你从 X = Y > 0 开始，递归调用 X + Y 级别很深，那么你可以选择两种递归调用中的 2^(X + Y) 种方式。许多这些方法不会深入 X + Y 级别，因为 X 或 Y 变为负数。但是，如果您按照相同的次数跟踪每个调用路径，那么您将深入 X + Y 级别。有 (2X over X) 方法可以做到这一点，大约是 2^(X + Y) / sqrt (pi X)。

Answer 2

当每个 summand 都是 0 或 1 时，需要多少 summands 才能得到 sum S？好吧，显然至少是S。因此，您的函数至少会进行answer 调用，其中answer 是问题的答案。如果你只返回一个，那将是准确的计数，否则处理零。

郑重声明，问题的一个好的解决方案与Pascal's Triangle 有很大关系（这个特殊的picture 可能会有所帮助）。

Answer 3

有一个更简单的解决方案：从 (0, 0) 到 (x, y) 总共需要 x + y 步。其中，您必须选择 x 个水平步骤的位置，您可以通过二项式 (x + y, x) 方式进行操作。