在 4 位二进制字符串中编码两个数字

Question

例如，我有两个从 0 到 15 的数字。我想知道是否有任何方法可以将这两个数字编码为 4 位二进制字符串（或可能是 5 位）？众所周知，需要 4 位来表示从 0 到 15 的任何单个数字，但也许您可以考虑自己对二进制字符串进行操作，然后从结果中恢复输入数字。例如，如果我添加0010 + 1011 作为标准，我得到1101。但是由于相加的结果，不可能完全明确地预测和的组成部分。必须考虑案例。但也许其他一些自己定义的动作？有人想知道类似的事情吗？

我知道上面的问题可能不符合某些门户条件，但是纯粹抽象地对待这个问题:)

Answer 1

您需要至少 8 位来编码从 0 到 15 的两个数字。这是因为您有 (2^4)*(2^4) = 2^8 个可能的输入（如果顺序无关紧要，则为 2^7 )，并且通过pigeonhole principle，您使用的任何小于 8（或 7）位的编码都会导致冲突，从而在所有情况下都无法重建您的输入。

要将两个 4 位数字编码为 8 位，只需将它们连接起来：

def encode(x,y):
    return (x << 4) + y

解码只需读取适当的位：

def decode(z):
    return z >> 4, z & 0xF

演示：

>>> encode(11,12)
188
>>> decode(188)
(11, 12)
>>> 

如果你想在两者之间转换为二进制字符串，你可以这样做：

>>> bin(188)
'0b10111100'
>>> int('0b10111100', 2)
188

Answer 2

(...) 也许你可以考虑自己对二进制字符串进行操作，然后从结果中恢复输入数字。

不，如果您对操作数和结果使用相同的位数，这是不可能的。例如，使用 4 位，就像你说的，你有 16 个可能的值，从 0 到 15。如果你定义一个二元运算，假设它是可交换的（否则会更难），2-@ 的数量这 16 个元素中的 987654321@（可能的输入对的数量）是 120，这甚至没有计算两次使用相同输入的 16 种额外可能性。因此，如果您的结果中只有 16 个可能的值，则平均每个可能的结果将对应于 7 到 8 个可能的输入对。无论您定义什么操作，结果中至少需要 7 位才能重建输入。

另一个问题是您是否可以确定产生某些结果的潜在输入集。例如，这对应于用于加法的 number partitioning 或用于乘法的 integer factorization 的概念。