使用 Kruskal 算法找到图中的最小切割？答案

【问题标题】：Finding the minimum cut in graph with Kruskal's algorithm?使用 Kruskal 算法找到图中的最小切割？
【发布时间】：2012-07-06 19:35:48
【问题描述】：

我们已经看到生成树和切割是密切相关的。这是另一个连接。让我们删除 Kruskal 算法添加到生成树的最后一条边；这将树分成两个组件，从而在图中定义了一个切割 (S,S)。我们能说什么？假设我们正在处理的图是未加权的，并且它的边是随机均匀排序的，以便 Kruskal 算法处理它们。这是一个值得注意的事实：至少有 1/n^2 的概率，(S,S) 是图中的最小割，其中割的大小 (S, S) 是 S 和 S 之间交叉的边数. 这意味着重复该过程 O(n^2) 次并输出找到的最小割以高概率产生 G 中的最小割：用于未加权最小割的 O(mn^2 log n) 算法。一些进一步的调整给出了由 David Karger 发明的 O(n^2 log n) 最小割算法，这是解决这个重要问题的已知最快的算法。

这难道不取决于通过 Kruskal 算法处理图形的 n^2 种独特方法这一事实吗？我的意思是，如果 Kruskal 算法只有 3 种独特的方式来处理具有 10 个节点的图，那么重复该过程 n^2 次将不会产生 n^2 独特的“最后一条边”。在唯一的最终切割少于 n^2 个（即少于 n^2 个唯一的“最后边”）的情况下，它将如何工作？
如果总共有少于 n^2 条边怎么办？例如，您可以有一个只有 9 条边的 10 个节点的连通图，这意味着无论您重复该算法多少次，您都不会有 n^2 个唯一的“最后一条边”。在这种情况下它会如何工作？
循环遍历每条边并检查边是否是最小切割不是更容易吗？在 n 个节点的图中，唯一边的最大数量为 n + n-1 + n-2... + 1 条边，小于 n^2。考虑到 n^2 小于 n^2 log n，为什么不直接遍历所有边，因为这样更快？

【问题讨论】：

这段文字是从哪里来的？

标签： algorithm math minimum-spanning-tree minimum-cut kruskals-algorithm

【解决方案1】：

我认为您可能误解了算法的工作原理。该算法的工作原理是运行 Kruskal 算法，直到添加最后一条边，然后在此之前停止。该算法不会尝试建立这些“最后一条边”的集合；相反，重复运行 Kruskal 算法的 O(n²) 次随机迭代，以建立 O(n²) 次可能的削减。在所有这些候选切割中取最低切割，然后以高概率给出最小切割。换句话说，如果少于 O(n²) 条边并不重要。重要的是最后保留的切口，而不是考虑的最后一个边缘。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

谢谢！我的最后一个问题呢？如果保证最小切割是一条边，为什么不遍历所有边并检查每一条？这只需要 O(n^2) 时间，不是吗？
@Riddler- 我认为你误解了什么是剪辑。切割不是图中的一条边。相反，它是一组边，当它们被移除时，将断开图形并留下两个未连接的区域。因此，用一种简单的方法找到最小切割将是“检查所有可能的边集以查看它们是否是切割，然后返回其中最少的。”这将花费指数级的时间。这有意义吗？
是的。最后一件事：用幼稚的方法完成它需要多长时间？（找到所有削减并返回最小的削减）。我知道你说的是指数，但究竟是什么？
有 2^m 组边要检查，每个生成和测试需要 O(m) 时间，所以至少 O(m2^m)。
@Riddler- 这是边的数量。按照惯例，m是边数，n是节点数。