从描述布尔函数的输出 d 的表中导出布尔函数答案

【问题标题】：Deriving a Boolean function from a table describing the output d of a Boolean function从描述布尔函数的输出 d 的表中导出布尔函数
【发布时间】：2012-06-03 13:29:24
【问题描述】：

我收到了以下问题：

下表描述了具有三个输入值 a、b 和 c 的布尔 fun 的输出 d。
 a  b  c  |  d 
----------+----
 0  0  0  |  1 
 0  0  1  |  1 
 0  1  0  |  1 
 0  1  1  |  0 
 1  0  0  |  0 
 1  0  1  |  0 
 1  1  0  |  0 
 1  1  1  |  0 
使用 AND、OR、XOR、NOT、NAND、NOR 或 XNOR 的适当组合给出此布尔函数。

为什么是正确答案：

d := (((NOT a) AND (NOT b)) AND (NOT c)) OR
(((NOT a) AND (NOT b)) AND c) OR
(((NOT a) AND b) AND (NOT c))

我的答案。 (((非 a) 与 (非 b)) 与 (非 c))

a   b   c     d
===============
0   0   0     1      
.
. 
.

这是如何得出的？

【问题讨论】：

请告诉我们您为什么认为这是错误的。由于这是家庭作业，我们希望看到一些努力。请记住展示您的工作:-) 但作为线索查看 D 列和答案中的 OR 数量。
我找到了解决方案d := (((NOT a) AND (NOT b)) AND (NOT c))，但它不正确。
好的，现在制作一个表格，在答案中显示您的函数的输出。我会开始你：
请勿发布包含文字的图片。它不可搜索，并且对无法查看图像的人粗鲁。
@Gilles 对此感到抱歉

标签： boolean-logic truthtable

【解决方案1】：

您给出的答案称为乘积之和 (SOP) 公式。看看 OR 加入的三个大词：

((NOT a) AND (NOT b)) AND (NOT c))
((NOT a) AND (NOT b)) AND c)
((NOT a) AND b) AND (NOT c)

现在看一下真值表，其中恰好三行在 d 列中有 1。这三行中的每一行都对应于三个术语之一。

可以组成更简短的答案，例如d := (NOT a) AND (NOT(b AND c))，但它们不是您给出的乘积总和公式。

【讨论】：

顺便说一句，您应该密切关注@PreetSangha 的 cmets。他们可能会像我的回答一样或更多地帮助你。祝你好运。

【解决方案2】：

检查表格的上半部分。 a 必须为假，fun 才能为真。
另外，b 和 c 不能同时是 true。所以，它必须是!(b && c)。
这应该将fun 归结为!a && !(b && c)
您可以将 De Morgan 定理应用于第二部分并使用 !b || !c，但即便如此，a 也必须为假，因此：!a && (!b || !c) 就是您的最终结果。

【讨论】：

【解决方案3】：

对于 3 个变量，8 个条目 (2^3) 提供了 3 个变量 a、b、c 之间所有可能变量的详尽组合。变量d 是（可以看出）某个函数的输出，比如f(x)。

现在，由于这 8 个条目包含了所有可能的变化，我们可以推断出，只有在特定组合出现时，输出 d 才是布尔值 1。在所有其他情况下，结果都是0。

所以我们简单地将所有输出为1 的行组合起来。你得到的结果如下。

程序很简单：

取所有输出为1的行。
对于每一行，输出一个表达式，该表达式将导致变量值的1。
- AND 每个变量。如果任何变量的值是0，则NOT 在ANDing 之前。
OR 上述步骤中找到的所有 8 个表达式。

【讨论】：

【解决方案4】：

从（完整）真值表中导出函数的最简单方法是只读取结果为 1（或 0）的行并写下 disjunctive（或 conjunctive）范式。

在您的表中，结果 1 比 0 少，因此析取范式会更短。从表中可以看出，d 恰好在 3 种情况下为 1：

a=0, b=0, c=0
a=0, b=0, c=1
a=0, b=1, c=0

只要把这些放在一起，你就会得到：(! = not, & = and, v = or)

d = (!a & !b & !c) v (!a & !b & c) v (!a & b & !c)

此表格自动排除所有其他情况。你仍然可以简化这个公式。仔细看看真值表会告诉你c 的值如果a 和b 都为0 则无关紧要。因此前两部分可以折叠得到以下析取形式：（不再正常形式）

d = (!a & !b) v (!a & b & !c)

如果你应用分配性，它会变得更短：

d = !a & (!b v (b & !c))

快完成了：

d = !a & (!b v b) & (!b v !c)   | applying (x v !x) == 1 and (1 & y) == y
  = !a & (!b v !c)              | applying De Morgan (!a v !b) == !(a & b)
  = !a & !(b & c)

完成。

【讨论】：

【解决方案5】：

正如之前有人提到的，您应该看看卡诺图。检查它wikipedia 乍一看可能有点复杂，但一旦掌握了它，就可以非常简单地推导出任何真值表的最佳表达式。

下图显示了给定真值表的卡诺图。

\ AB
C\  00  01  11  10
  \----------------
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
  |----------------
1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
   ----------------

使用卡诺时你要做的第一件事就是将真值表复制到地图上。我会让你想办法做到这一点。

下一步是对它们进行分组，维基百科文章描述了如何做到这一点。

终于找到解决办法了

从卡诺图可以看出，无论 C 的值如何，当 (!A & !B) 时输出为真，当 (!A & B & !C) 时输出也为真。

因此函数可以写成： D = (!A & !B) 或 (!A & B & !C)

另一种解决方案是： D = (!A & !C) 或 (!A & !B & C)

【讨论】：