找到这个二次方程组的解析解

Question

我已将我的问题简化为这个由 3 个二次方程组成的系统：

  (k1*x + k2*y + k4)^2 = k7      
  (k2*y + k3*z + k5)^2 = k8      
  (k3*z + k1*x + k6)^2 = k9

  (Solve for x, y, z, k1..k9 are constants)

我花了很长时间没有找到分析解决方案。谁能给我解决方案？

附：常数之间有一些关系可以简化问题。如果明天需要，我可以发布它们。

谢谢彼得

Answer 1

纯数学但可通过编程解决，...首先使用 Gilles-Philippe Paillé 注释和单独的变量：

(k1*x + k2*y + k4)^2 = k7
(k2*y + k3*z + k5)^2 = k8
(k3*z + k1*x + k6)^2 = k9
-------------------------
k1*x + k2*y + k4 = sqrt(k7)
k2*y + k3*z + k5 = sqrt(k8)
k3*z + k1*x + k6 = sqrt(k9)
-------------------------
k1*x + k2*y = sqrt(k7) - k4
k2*y + k3*z = sqrt(k8) - k5
k3*z + k1*x = sqrt(k9) - k6
-------------------------
k1*x + k2*y +  0*z = sqrt(k7) - k4
 0*x + k2*y + k3*z = sqrt(k8) - k5
k1*x +  0*y + k3*z = sqrt(k9) - k6
-------------------------

现在可以改写成矩阵形式了

    | k1 k2  0 |
A = |  0 k2 k3 |
    | k1  0 k3 |

    | x |
B = | y |
    | z |

    | sqrt(k7) - k4 |
C = | sqrt(k8) - k5 |
    | sqrt(k9) - k6 |


             A * B =              C
Inverse(A) * A * B = Inverse(A) * C
                 B = Inverse(A) * C

所以它是 3x3 矩阵的简单逆矩阵。如果通过 zeor 填充将其扩展为 4x4 并将对角线加 1 您可以像这样使用 4x4 逆矩阵：

• Understanding 4x4 homogenous transform matrices

只需在 C++ 代码示例中查找 matrix_inv。你也可以在那里找到矩阵和向量的乘法matrix_mul_vector...

C++ 中的代码如下所示：

double A[16]=
 {
 k1, 0,k1, 0,
 k2,k2, 0, 0,
  0,k3,k3, 0,
  0, 0, 0, 1
 };
double B[4],C[4]=
 {
 sqrt(k7) - k4,
 sqrt(k8) - k5,
 sqrt(k9) - k6
 };

matrix_inv(A,A);
matrix_mul(B,A,C);

如果你的方程有解，现在B 应该保存你得到的x,y,z 值。剩下的只是添加符号组合作为系统丢失的sqrt...如果所有常量和变量都是非负数，您可以忘记这一点并直接使用结果而不尝试 8 种组合...

如果我没看错，组合就是这样完成的

double C[4]=
 {
 (+/-)sqrt(k7) - k4,
 (+/-)sqrt(k8) - k5,
 (+/-)sqrt(k9) - k6
 };

所以对于 8 个C 组合中的每一个组合计算结果......组合本身可以通过 for 循环使用迭代器变量的 3 个最低位来决定符号，例如：

matrix_inv(A,A);
for (int i=0;i<8;i++)
 {
 if ((i&1)==0) C[0]=+sqrt(k7)-k4; else C[0]=-sqrt(k7)-k4;
 if ((i&2)==0) C[1]=+sqrt(k8)-k5; else C[1]=-sqrt(k8)-k5;
 if ((i&4)==0) C[2]=+sqrt(k9)-k6; else C[2]=-sqrt(k9)-k6;
 matrix_mul(B,A,C);
 // here B holds the i-th solution
 }

如果是复杂的域，只需将double 更改为复杂的数据类型...