函数依赖集的等价性

Question

Fd1 = {AB --> C, D --> E, E --> C}

Fd2 = { AB --> C, D --> E, AB --> E, E --> C}

这两个 FD 是否等效，我认为它们是等效的。但在答案中显示为不等价。

Answer 1

你不能从第一组的依赖中产生 AB → E。

要从数学上证明它们的（不）等价性，您应该为这两个集合构建闭包并比较闭包。

有一些简单的归纳规则来构建 a 闭包。引用Wikipedia on Functional Dependency，公理是：

• 自反性：如果 Y 是 X 的子集，则 X → Y
• 增强：如果 X → Y，则 XZ → YZ
• 传递性：如果 X → Y 和 Y → Z，则 X → Z

遵循一些规则：

• 联合：如果 X → Y 和 X → Z，则 X → YZ
• 分解：如果 X → YZ，则 X → Y 和 X → Z
• 伪传递性：如果 X → Y 和 WY → Z，则 WX → Z
• 组成：如果X→Y和Z→W，那么XZ→YW

使用这些规则和公理，可以为 FDS 构建闭包。

省略琐碎的依赖（右侧包含在左侧的那些），首先设置 { AB → C (1), D → E (2), E → C (3) } 给出：

AB → C                       (1)
ABD → CE, ABD → C, ABD → E   (composition 1+2, decomposition)
ABDE → CE, ABDE → C          (composition 1+2+3, decomposition)
ABE → C                      (composition 1+3)
D → E, D → C, D → CE         (2, transitivity 2+3, union)
DE → CE, DE → C              (composition 2+3, decomposition)
E → C                        (3)

而第二组{ AB → C (1), D → E (2), E → C (3), AB → E (4) } 给出：

AB → C, AB → E, AB → CE      (1, 4, union 1+4)
ABD → CE, ABD → C, ABD → E   (composition 1+2, decomposition)
ABDE → CE, ABDE → C          (composition 1+2+3, decomposition)
ABE → C                      (composition 1+3)
D → E, D → C, D → CE         (2, transitivity 2+3, union)
DE → CE, DE → C              (composition 2+3, decomposition)
E → C                        (3)

第二个闭包有AB → E, AB → CE，在第一个闭包中不存在，因此原始集合不同。