可以条件 a*b>a where (a>b) 保证计算不会溢出吗？答案

【问题标题】：Can condition that a*b>a where (a>b) promise computation without overflow?可以条件 a*b>a where (a>b) 保证计算不会溢出吗？
【发布时间】：2017-08-14 07:34:36
【问题描述】：

问题：给定两个整数a，b（a>b），唯一可以使用的数据类型是int；另外编译器采用二进制补码计算方法。

ab>a 能否保证 ab 的结果正确而不会溢出？
如果答案是肯定的，我该如何证明？否则，如何找到反例，正确的条件是什么？

【问题讨论】：

标签： integer-overflow

【解决方案1】：

部分回答问题，在 C# 程序中

using System;

public class Program
{
    public static void Main()
    {
        int a = 654321;
        int b = -654321;
        var iBool = a * b > a;
        Console.WriteLine(iBool);
    }
}

条件a * b > a 等于true，这在分析上是错误的。 b是负数，a是正数，所以a*b一定是负数，但绝对值大于b，也就是说a*b不能大于a。但是，实施会另作决定。

【讨论】：

请注意，如果a 为负，则b 不能为正，因为前提条件是两个整数a, b (a>b)。
顺便说一句，关于b 本身也很消极。我只考虑了两者都是否定的情况，但在前提条件内，这也是绝对可能的。

【解决方案2】：

没有。

让我们先看看正数。为了保证承诺是错误的，溢出必须如此之大以至于它不仅溢出而且大于a，因此需要远远超过两倍INT_MAX的东西（准确地说，它需要是大于abs(INT_MIN)+INT_MAX+a)。

直觉上这似乎不可能发生，但这并不像看起来那么不可能，因为 a 和 b 只需要显着大于位大小的一半int，但不太接近最大值。

更容易看出，对于否定的 a 和 b，promise 不成立。前置条件a > b 意味着如果a 为负数，那么b 也为负数，因此它们相乘的结果总是正数。

无论您选择哪个数字，正数总是大于负数，因此只要 a 和 b 均为负数，a*b > a 始终为真，您始终保证不会溢出已经发生了，不管是不是这样。

除非a 和b 足够小，否则会发生整数溢出。

取任意两个非特殊但肯定为负的整数，例如 -5'000'000 和 -500'000，它们满足前提条件 a > b。
将它们相乘，你会得到 2'500'000'000'000，它明显溢出（实际上是好几次）。
结果是 329033728，它肯定大于 -5'000'000，所以你错误地承诺没有发生溢出。

【讨论】：