验证哥德巴赫猜想最多支持 N答案

【问题标题】：Checking Goldbach's conjecture holds up to N验证哥德巴赫猜想最多支持 N
【发布时间】：2023-03-27 08:26:01
【问题描述】：

我被要求编写一段代码来检查哥德巴赫猜想是否适用于直到 N 的每个偶数，到目前为止，我有以下内容：

def gb(n):
    #give a list of all primes less than n using the sieve of Eratosthenes (not considering 1 to be prime like Goldbach):
    primes=list(range(2,n+1))

    for i in primes:

        j=2

        while i*j<=primes[-1]:
            if i*j in primes :
                primes.remove(i*j)
                j=j+1

    #give a list of even numbers less than n but starting from 4
    evens=list(range(4,n+1,2))

然后我需要检查是否所有偶数中的数字都可以作为两个素数之和。在这一点上我很困惑，我知道我需要使用循环，但我不确定如何检查它们是否都符合猜想？

【问题讨论】：

标签： python primes goldbach-conjecture

【解决方案1】：

不是循环遍历所有偶数，并且对于每个检查是否有两个素数的组合与该数字相加，您可以做相反的事情：收集一组中两个素数的所有和（快速查找O(1)) 并为每个偶数检查它是否在该集合中。

>>> N = 1000
>>> primes = [p for p in range(N+1) if not any(p % q == 0 for q in range(2, p//2))]
>>> evens = [n for n in range(4, N+1, 2)]
>>> sums = set(p + q for p in primes for q in primes)
>>> all(n in sums for n in evens)
True

当然，primes 可以使用筛子更有效地实现，但这在这里并不重要。给定primes，检查数字的复杂度为 O(P^2 + N)，其中 P 是小于 N 的素数。

或者，如果您不想计算和存储两个素数的所有 P^2 组合的总和，您可以将素数变成一个集合，并为每个偶数 n 找到一个素数 p这样n - p 也在primes 中。这将具有 O(N * P) 的复杂度，但需要更少的空间

>>> primes = set(primes)
>>> all(any(n - p in primes for p in primes) for n in evens)

【讨论】：

当你使用它时，evens 根本不需要成为一个列表或以这种方式构建它，一个简单的list(range(...)) 是排序器（或只是在 py2 中的范围），是如果您在 python 3 中（py2 中的 xrange），范围对象就足够了，并且对内存更友好
范围对象不是生成器，我们通常这样使用，但不是……您可以随意迭代同一范围，它实现了序列 ABC，所以您可以进行成员资格测试并通过索引、大小等获取其元素...
@Copperfield 你说得对，我忘了。所以，是的，您也可以直接使用range，无需列表理解，甚至无需将其转换为列表。
@tobias_k，对不起，因为这是一个旧答案，但是如果结果是偶数，是否有一种优雅的方法可以只将 p+q 添加到“sums”集中？我在想这可能是一种节省内存空间的方法？
@TophNoms 除了 2 之外的所有素数都是奇数，所以 p + q 将总是是偶数，除非 p 或 q（但不是两者）是 2 ，因此您可以从primes 中弹出2，然后手动将4 添加到sums 设置中。

【解决方案2】：

应该这样做：

import itertools
import math

def check(n, primes):
    """Check if Goldbach's conjecture holds for n, given a list of primes"""

    for a,b in itertools.product((p for p in primes if p<n), repeat=2):
        if a+b == n: return True
    return False


def checkAll(N):
    """Check whether Goldbach's conjecture holds for all even numbers >2, <=N"""

    primes = getPrimes(N)
    for n in range(4, N+1):
        if not check(n, primes): return False
    return True


def checkPrime(n, primes):
    """Check whether n is prime, given a list of prime numbers smaller than it"""
    for p in primes:
        if p > math.ceil(n**0.5): return True
        if not n%p: return False
    return True


def getPrimes(N):
    """Get all prime numbers <=N"""
    answer = [2,3]
    for n in range(5, N+1):
        if check(n): answer.append(n)

【讨论】：