Python 应用程序在 10^300 和 10^301 之间生成随机素数答案

【问题标题】：Python app to make a random prime number between 10^300 and 10^301Python 应用程序在 10^300 和 10^301 之间生成随机素数
【发布时间】：2011-04-12 06:55:54
【问题描述】：

我需要让 Python 应用程序在 10^300 和 10^301 之间生成一个随机素数，我这样做了，但它非常慢。有什么解决办法吗？


import random , math
check_prime = 0

print "Please wait ..."
def is_prime(n):
    import math
    n = abs(n)
    i = 2
    while i <= math.sqrt(n):
        if n % i == 0:
            return False
        i += 1

    return True

while check_prime == 0 :
    randomnumber = random.randrange(math.pow(10,300),math.pow(10,301)-1)
    if is_prime(randomnumber):
        print randomnumber
        break

【问题讨论】：

预先计算 10^300 和 10^301 之间的所有素数，将此列表添加到您的代码中并从该列表中选择一个素数？
你说它“很慢”？ math.sqrt 任何大于 10^300 的数字至少是 10^150。如果我的计算机需要 25 毫秒来迭代 xrange(1000000)（等于 10^6）并且什么都不做，那么它需要大约 10^130 个年龄来迭代超过 10^150 个数字。因此，除了is_prime 实现之外，可能还有其他方法可以检查素数。
@Ocaso：在 10^300 和 10^301 之间有 9000000000000000000000000000000（加上另外 270 个零）数字。如果它们中只有十亿分之一是质数，它仍然无法放入 RAM。
谁给了@Ocaso 不少于五个向上箭头的评论？使用this 信息，我估计他建议的列表将包含 Li(10^301) - Li(10^300) = 1.3 * 10^298 项。请记住，可见宇宙估计包含大约 10^80 个原子。 Wikipedia 指出，检查这个数量级的一个数的素数所需的估计操作数是 log(10^300)^6 = 1.1 * 10^17，大约需要 1.1e17 / 160E9 / 60^2 =在 160 000 MIPS CPU 上运行 190 小时。
@lazyr, @eumiro（顺便说一句：我给你们两个都投了赞成票）：我知道在那个范围内处理 all 素数是不可能的，但@ShirazITCo 没有t 说他的问题的用例是什么。在某些情况下，最好有一个经过计算的素数列表。

标签： python random

【解决方案1】：

首先要做的是：不要使用 math.pow()，因为它只是 C 浮点函数的包装器，而且您的数字太大而无法准确地表示为浮点数。使用 Python 的指数运算符，即 **。

第二：如果您在具有gmpy 版本的平台上，请使用该版本进行素性测试。

第三：正如 eumiro 所说，您可能正在处理太大的问题空间，以至于没有任何真正快速的解决方案。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您需要快速而肮脏的东西，只需使用费马小定理。

def isPrime(p):
    if(p==2): return True
    if(not(p&1)): return False
    return pow(2,p-1,p)==1

虽然这对于随机数非常有效，但对于称为“伪素数”的数字会失败。（相当稀缺）但是，如果您需要一些万无一失且足够简单来实现的东西，我建议您阅读有关 Miller Rabin 的素性检验的信息。

PS: pow(a,b,c) 在 python 中需要 O(log(b)) 时间。

【讨论】：

以 2 为基数的伪素数（您的代码会错误地报告为素数）并不罕见。直到 2000 的整数中有 7 个。所以如果你真的需要一个素数，这个测试可能还不够。
这可能又快又脏，但我对它的测试表明它实际上相当快。

【解决方案3】：

看看Miller-Rabin test我相信你会在网上找到一些Python的实现。

【讨论】：

【解决方案4】：

正如 cmets 中所解释的，您可以忘记构建 10^300 到 10^301 之间所有素数的列表并随机选择一个 - 该范围内的素数数量级太多，无法正常工作。

据我所知，唯一实用的方法是从范围中随机选择一个数字，然后测试它是否为素数。重复直到找到一个素数。

对于素数测试，这本身就是一个完整的主题（图书馆 [在书本意义上] 已经写过关于它的文章）。基本上，您首先进行一些快速测试以丢弃显然不是素数的数字，然后拿出大枪并使用常见的素数测试之一（Miller-Rabin（迭代），AKS，...）。我知道的不够多，无法推荐，但这确实是研究级数学的话题，所以你应该去https://math.stackexchange.com/。

参见例如这个问题作为一个起点和一些简单的食谱：

How do you determine if a number is prime or composite?

关于你的代码：

你发布的代码基本上和我描述的一样，但是它使用了一个非常简单的素数测试（试验除以所有数字 1...sqrt(n)）。这就是为什么它这么慢。如果您使用更好的素性测试，它会快几个数量级。

【讨论】：

【解决方案5】：

由于您要处理非常大的数字，因此您应该真正建立在聪明人已经为您完成的基础之上。鉴于您需要确定您的数字是素数（米勒拉宾出局），并且您确实想要一个随机素数（不是特定结构），我建议AKS。我不确定如何优化被测数字，但考虑到素数测试的速度，只选择一个随机数可能没问题。

【讨论】：

为什么米勒-拉宾出局了？您可以经常重复测试以获得极低的错误概率（我相信这是大多数生产质量的加密软件所做的）。当然，AKS 也可以工作。不知道在实践中什么更快。

【解决方案6】：

如果您想生成大量素数，或快速生成它们，纯 python 可能不是可行的方法 - 一种选择是使用 python openssl 包装器，并使用 openssl 的工具来生成 RSA 私钥（它们实际上是一对素数），或一些openssl的其他素数相关函数。实现速度的另一种方法是实现以下测试之一的 C 扩展...

如果 opessl 不是一个选项，您的两个选择（正如许多 cmets 所提到的）是 Miller-Rabin 测试和 AKS 测试。主要区别 - AKS 是确定性的，并且保证不会给出错误的结果；而 Miller-Rabin 是概率性的，它可能偶尔会给出误报 - 但运行时间越长，概率就越低（k 轮测试的几率为 1/4**k）。你会认为 AKS 显然是要走的路，除了它要慢得多 - O(log(n)**12) 与 Miller-Rabin 的 O(k*log(n)**3) 相比。（作为比较，您提供的扫描测试将采用O(n**.5)，因此对于大数字，这两种方法中的任何一种都会快得多。

如果有用，我可以粘贴我拥有的 Miller-Rabin 实现，但它相当长。

【讨论】：

【解决方案7】：

使用不同的算法可能会更好，但您也可以很容易地优化此代码。

这个函数会快一倍：

def is_prime(n):
    import math
    n = abs(n)
    if n % 2 == 0:
        return False
    i = 3
    while i <= math.sqrt(n):
        if n % i == 0:
            return False
        i += 2

    return True

【讨论】：

@eumiro，我认为两倍的速度仍然有帮助。如果我可以制作任何脚本，只需添加/更改 3 行，我的运行速度就会提高一倍，我将是一个非常快乐的人。
是的，通常是这样。但是，eurmiro 指出，如果您的预期运行时间长于宇宙热寂之前的预期时间，那么两倍的速度对您没有帮助......