我的埃拉托色尼筛法有缺陷吗？答案

【问题标题】：My implementation of the Sieve of Eratosthenes is flawed?我的埃拉托色尼筛法有缺陷吗？
【发布时间】：2012-11-21 05:25:49
【问题描述】：

我正在用 Python 实现 Eratosthenes 筛法。出现的一个问题是并非所有素数都出现（主要是编号较小的素数）。

这是我的代码：

def prevPrimes(n):
    from math import sqrt
    from time import time
    start = time()
    if type(n) != int and type(n) != long:
        raise TypeError("Arg (n) must be of <type 'int'> or <type 'long'>")
    if n <= 2:
        raise ValueError("Arg (n) must be at least 2")
    limit, x, num, primes = sqrt(n), 2, {}, []
    for i in range(1, n+1):
        num[i] = True
    while x < limit:
        for i in num:
            if i%x==0:
                num[i] = False
        x += 1
    for i in num:
        if num[i]:
            primes.append(i)
    end = time()
    primes = sorted(primes)
    print round((end - start), 2), ' seconds'
    return primes

如果我输入>>> prevPrimes(1000)，我希望结果以：[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17] 等开头。但是，它看起来是这样的：[1, 37, 41, 43, 47, #more numbers]。

我知道问题在于它将“原始”素数（2、3、5、7、11、13、17 等）声明为 False，因为我的程序检查方式为素数。我怎样才能避免这种情况？在此先感谢:)

【问题讨论】：

顺便说一句，这不是埃拉托色尼的筛子。真正的算法根本不使用%。这只是试用部门。

标签： python function primes sieve

【解决方案1】：

所以这不是一个实际的 SoE 实现，我不久前写的一个如下。

number_primes = 10
prime_list = [True]*number_primes

for i in range (2, number_primes):    #check from 2 upwards
  if prime_list[i]:                   #If not prime, don't need to bother about searching
    j = 2
    while j*i < number_primes:        # Filter out all factors of i (2...n * prime)
      prime_list[j*i] = False
      j+=1

【讨论】：

【解决方案2】：

有时当您遍历 num 时，x 等于 i，因此 i % x 等于 0，而 i 被标记为非质数。

您需要在 while 循环中的某处添加 if not x == i:，例如：

while x < limit:
        for i in num:
            if not x == i:
                if num[i] and i%x==0:
                    num[i] = False

【讨论】：

另外，虽然这很可能找到素数，但它并不是真正使用埃拉托色尼筛法，它更像是一种蛮力方法。

【解决方案3】：

首先，回答您的具体问题。您正在丢弃小于 n 平方根的素数。最简单的解决方法是在内部循环的末尾将num[i] = False 行更改为num[i] = (not x == i)（我认为这行得通，我还没有测试过）。

其次，您的算法是试除法，而不是埃拉托色尼筛法，并且时间复杂度为 O(n^2) 而不是 O(n log log n)。模运算符放弃了游戏。最简单的埃拉托色尼筛法看起来像这样（伪代码，可以翻译成 Python）：

function primes(n)
  sieve := makeArray(2..n, True)
  for p from 2 to n step 1
    output p
    for i from p+p to n step p
      sieve[i] := False

有一些方法可以改进该算法。如果您对使用素数进行编程感兴趣，我谦虚地推荐this essay，它包括一个优化的埃拉托色尼筛，并在 Python 中实现。

【讨论】：

【解决方案4】：

进口时间

def primes_sieve1():

limitn = int(raw_input("Please enter an upper limit ")) +1
start = time.clock()
primes = {
    }

for i in range(2, limitn):
    primes[i] = True

for i in primes:
    factors = range(i,limitn, i)
    for f in factors[1:]:
        primes[f] = False

end = time.clock()
print "This took ",end-start," seconds"
return [i for i in primes if primes[i]==True]

primes_sieve1()

此代码不使用除法，而是采用小于极限根的所有数字的倍数并将它们更改为 false。这有点快，因为它不涉及将每个数字除以其他数字。

同样低于 1000 的情况会发生，即素数本身会被模数为 0，因此程序会认为它是错误的。由于 sqrt(1000) 大约是 31，因此小于 31 的素数会受到影响。

例如，在“while x

【讨论】：