如何找到数字中的所有正方形（Java）？答案

【问题标题】：How to find all squares in the number (Java)?如何找到数字中的所有正方形（Java）？
【发布时间】：2011-02-12 23:11:33
【问题描述】：

我似乎有精神障碍，无法解决以下问题。基本上，我想在给定数字中找到所有可能的正方形，即 N = S*S*A，其中 N 在给定数字中，S*S 是正方形，A 是其他数字。我需要找到所有可能的那种组合。
到目前为止，我已经在素数序列中分解了数字 N，并构建了一个 Map，其中键是序列中唯一的素数，值是这个素数的出现次数。
例如，对于某个数字，可能会有这样的顺序：
2 2 2 3 3 5 5 5 5 7 7 7 7 7,
因此，正方形应该是 4、9、25、49、36、100、196、225、441、1225。对于这样的序列，我将有以下地图：
2 3
3 2
5 4
7 5
接下来，我将奇数减一：
2 2
3 2
5 4
7 4
主要问题是如何从这张地图上得到上面写的正方形。我的想法是运行 2 个循环（不知道效率如何）：

for(Map.Entry<BigInteger, Integer> entry : frequency.entrySet()) {
    for(Map.Entry<BigInteger, Integer> ientry : frequency.entrySet()) {
    }
}

很明显，如何将映射中的所有键对相乘，但我无法提出必须强加的条件来考虑多重性。
非常感谢您！
附：有没有没有嵌套循环的好办法？

【问题讨论】：

标签： java math primes

【解决方案1】：

我认为嵌套循环在这里不会对您有所帮助；您正在进入递归领域。 :-)

您要问的问题基本上可以归结为这一点。你有一个数字列表，以及这些数字的频率。你想想出所有独特的方法，你可以选择每个数字的一定数量的副本。例如，给定

2 2
3 4
5 2

你会想要的

2⁰ 3⁰ 5⁰

2⁰ 3⁰ 5²

2⁰ 3² 5⁰

2⁰ 3² 5²

2⁰ 3⁴ 5⁰

2⁰ 3⁴ 5²

2² 3⁰ 5⁰

2² 3⁰ 5²

2² 3² 5⁰

2² 3² 5²

2² 3⁴ 5⁰

2² 3⁴ 5²

如果我们只写指数，那么我们有

所以问题是如何生成这个。幸运的是，有一个非常漂亮的递归公式可以生成这些数字。它是这样的。我们想编写一个函数AllSquares，它接收一组素数及其重数的列表，然后返回所有可能的乘积，这些乘积可以由那些完全平方的素数组成。我们会以归纳方式进行。

作为我们的基本情况，如果您将空列表提供给AllSquares，则恰好有一个平方积，即 1，即空列表元素的空积。

对于归纳步骤，假设我们有一个非空列表，其第一个元素是 (prime, multiplicity)，其余元素是“rest”。假设我们递归地计算通过在列表的其余元素上调用AllSquares 形成的列表“组合”。那么对于 i = 0, 2, 4, ..., 多重性，如果您将列表中的元素乘以 baseⁱ，您将得到一个新的完美正方形列表.如果你将所有这些值结合起来，你最终会得到所有可以从数字中形成的完美正方形。很酷的一点是，即使重数是奇数，它也能工作，因为您只考虑偶数指数。

这里有一些实现该算法的简单 Java 代码。它根本没有效率，但它明白了这一点：

private static List<Integer> allSquares(List<BaseMultiplicity> elems) {
    /* Base case: If the list is empty, there's only one square. */
    if (elems.isEmpty()) {
        return Collections.singletonList(1);
    }

    /* Recursive case: Compute the answer for the rest of the list. */
    List<BaseMultiplicity> rest = new LinkedList<BaseMultiplicity>(elems);
    rest.remove(0);
    List<Integer> recResult = allSquares(rest);

    /* Now, for each even power of this number, add appropriately-scaled
     * copies of the recursive solution to the result.
     */
    List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
    for (int i = 0, base = 1; i < elems.get(0).multiplicity; 
         i += 2, base *= elems.get(0).prime)
        for (Integer elem: recResult)
            result.add(elem * base * base);
    
    return result;
}

希望这会有所帮助！

【讨论】：

【解决方案2】：

我解决这个问题的方法是一个组合问题。

分解和计算主要因素。
建立一个列表，如果一个因子在原始数字中出现2N 或2N + 1 次，则该因子在此列表中出现N 次。因此，对于2 2 2 2 2 3 3 5 的主要因素，列表将是2 2 3
建立前一个列表的所有组合的列表；例如{2} {2} {3} {2 2} {2 3} {2 3} {2 2 3}.
将每个集合中的因子相乘；例如{2 2 3 4 6 6 12}。
消除重复得到S值的列表；例如{2 3 4 6 12}。

现在翻译成Java。

（构建所有组合的列表可以迭代或递归地完成......或者通过踢和使用第三方库。此外，您可以在步骤 3 中消除重复项；即构建一个 set 独特的组合。）

【讨论】：

【解决方案3】：

对于N = S * S * A，计算S 的除数并将它们平方。

因此，鉴于您的地图，您可以将每个指数减半，这为您提供了 S 的因式分解。

然后像往常一样计算对应于所有指数组合的数字以获得除数。

这是我的功能：

public static NavigableSet<Long> divisors(long n)
{
    NavigableSet<Long> divisors = new TreeSet<Long>();
    divisors.add(1L);
    final Multiset<Long> factorization = primeFactorization(n);
    for (final long primeFactor : factorization.elementSet())
    {
        final int exponent = factorization.getMultiplicity(primeFactor);

        final NavigableSet<Long> newDivisors = new TreeSet<Long>(divisors);
        for (final long d : divisors)
        {
            for (int i = 0; i <= exponent; i++)
            {
                newDivisors.add(d * pow(primeFactor, i));
            }
        }
        divisors = newDivisors;
    }
    return divisors;
}

Multiset 基本上是从元素到非负整数的映射。

【讨论】：