Python中大“n”的快速素性测试答案

【问题标题】：Fast primality testing for large `n` in PythonPython中大“n”的快速素性测试
【发布时间】：2020-05-01 03:20:27
【问题描述】：

我正在做一个项目，该项目需要我找出极大的数字是否是素数。当然，我已经阅读了如何找到素数并提出了一个非常简单的蛮力方法：

def is_prime_brute_force(p):
    if p == 2 or p == 3:
        return true
    if p == 1 or p % 2 == 0 or any(p % i == 0 for i in range(3, floor_sqrt(p), 2)):
        return false
    return true

我还研究了诸如Miller-Rabin Primality Test 和费马小定理之类的概率方法（请参阅here 了解 Rosetta 代码对前者的实现）。

虽然概率选项比蛮力快一个数量级，但对于 n 的非常大的输入（例如，已知的素数 10**9999 + 33603），它们仍然非常慢。

我遇到了一个有趣的观察结果（当然我不是第一个遇到这种观察结果的人），即所有素数都符合 p = 6 * k + 1 或 p = 6 * k -1 等式。在 Python 中，这样的函数是这样的

def is_prime_eq(p):
    if p == 2 or p == 3:
        return True
    if p == 0 or p == 1:
        return False

    # The same as `return (p % 6 == 1) or (p % 6 == 5)`
    prime_test = lambda p, a, m : (p % a == m) or (p % a == (a-m))
    return prime_test(p, 6, 1)

如果p 是素数，上述保证返回真，但真结果并不意味着p 是素数。一个简单的例子是 25（25 = 1 (mod 6)，但显然 25 = 5^2）。

我想知道是否有一些更通用的方法来应用素数的这个有趣的属性，也许使用不同的a 值来提高我的is_prime 函数的速度。

【问题讨论】：

只需使用概率测试。理想情况下，其他人已经实施了。
尽管整数 k 的所有素数（除了 2 或 3）都是 6k+1 或 6k-1 的形式，但并非所有 6k+1 或 6k-1 形式的数都是素数。
@enumaris 谢谢，我忘了包括那个细节。我已经更新了问题。
您可能会发现this question 的答案很有帮助。
...概率选项的速度要快一个数量级...本世纪的轻描淡写。

标签： python math primes

【解决方案1】：

在 math.stackexchange (here) 上发布了一个相当有用的解决方案，我在下面进行了镜像

关于这个算法，你提出的“更快”算法相当于

def is_prime_brute_force(p):
    if p == 2 or p == 3:
        return true
    if p == 1 or p % 2 == 0 or p % 3 == 0:
        return false
    return true

希望您明白为什么这不是很有帮助。作为素数>= 5 的乘积的任何复合都将评估为素数。通常我们对素数除数都足够大的数字使用概率素数测试（例如 Miller-Rabin），因此忽略所有大于 3 的素数除数使其相当无用。

在当前硬件上，素数测试的本质是相当昂贵的。您可以做的最好的事情是尝试针对输入的某些给定假设进行优化。

【讨论】：

【解决方案2】：

只需使用概率测试。概率测试是素数测试中的最新技术，比任何确定性测试都要快得多，而更快地发明任何东西都需要世界一流的数论专业知识。

gmpy2 可能是您在 Python 中的最佳选择。它具有用于多个概率素性测试和其他数论函数的 built-in support，以及它自己的任意精度 int 类型，该类型针对大值的更快运算进行了优化。

【讨论】：