如何使用 Python 提高查找 N 是否为 Coprime 的时间复杂度，其中数字从 2 到 N？

Question

我已经编写了我的代码，它包含 2 个方法 coprime() 来检查 2 个数字是否互质，count_coprime() 来计算与 n 互质的数字，它可以工作，但是太慢了我正在寻找改进：

第一个：

def coprime(a, b):
    # Returns a boolean value
    # Returns true if a and b are in fact coprime
    if a == 1 or b == 1:
        return True
    else:
        count = 0
        if a < b:
            for i in range(2, a + 1):
                if a % i == 0:
                    if b % i == 0:
                        count += 1
        else:
            for i in range(2, b + 1):
                if b % i == 0:
                    if a % i == 0:
                        count += 1
        return count < 1

第二个：

def count_coprimes(n):
    count = 1
    for i in range(2, n):
        if coprime(i, n):
            count += 1
    return count

Answer 1

要检查两个数是否互质，可以使用 GCD (Great Common Divisor) 算法。如果gcd(a,b)==1，那么值是互质的。它在O(max(log(a),log(b))) 时间内工作，因此总体复杂度为O(nlogn)

请注意，标准数学模块已经包含math.gcd() 函数。欧几里得算法的简单实现：

def EuclideanGCD(x, y): 
    while y: 
        x, y = y, x % y 
    return x