丑数 - dp 的数学直觉

Question

我正在尝试找到“丑陋”的数字，它是一系列唯一素因数为 [2,3,5] 的数字。

我找到了动态编程解决方案，并想了解它的工作原理以及逻辑背后的数学直觉。

1. 算法是为 2、3 和 5 的倍数保留三个不同的计数器变量。假设 i2、i3 和 i5。

2. 声明丑数组并将0索引初始化为1，因为第一个丑数是1。

3. 初始化 i2=i3=i4=0;

4. ugly[i] = min(ugly[i2]*2,丑陋[i3]*3,丑陋[i5]*5) 并增加 i2 或 i3 或 i5 所选择的索引。

试运行：

ugly = |1|

  i2=0;
  i3=0;
  i5=0;

ugly[1] = min(ugly[0]*2, ugly[0]*3, ugly[0]*5) = 2

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ugly = |1|2|

  i2=1;
  i3=0;
  i5=0;

ugly[2] = min(ugly[1]*2, ugly[0]*3, ugly[0]*5) = 3

---------------------------------------------------

ugly = |1|2|3|

  i2=1;
  i3=1;
  i5=0;

ugly[3] = min(ugly[1]*2, ugly[1]*3, ugly[0]*5) = 4

---------------------------------------------------

ugly = |1|2|3|4|

  i2=2;
  i3=1;
  i5=0;

ugly[4] = min(ugly[2]*2, ugly[1]*3, ugly[0]*5) = 5

---------------------------------------------------

ugly = |1|2|3|4|5|

  i2=2;
  i3=1;
  i5=1;

ugly[4] = min(ugly[2]*2, ugly[1]*3, ugly[0]*5) = 6

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ugly = |1|2|3|4|5|6|

我迷失了如何从 2 的索引中形成 6。谁能简单解释一下？

Answer 1

每个“丑”数（1 除外）都可以通过将较小的丑数乘以 2、3 或 5 来形成。

假设目前发现的丑数是 [1,2,3,4,5]。根据该列表，我们可以生成三个丑数序列：

乘以 2，可能的丑数是 [2,4,6,8,10]
乘以 3，可能的丑数是 [3,6,9,12,15]
乘以 5，可能的丑数是 [5,10,15,20,25]

但是列表中已经有 2、3、4 和 5，所以我们不关心小于或等于 5 的值。让我们用 - 标记这些条目以表示我们不关心关心他们

乘以 2，可能的丑数是 [-,-,6,8,10]
乘以 3，可能的丑数是 [-,6,9,12,15]
乘以 5，可能的丑数是 [-,10,15,20,25]

而事实上，我们真正关心的是每个序列中最小的数

乘以2，大于5的最小数是6
乘以3，大于5的最小数是6
乘以5，大于5的最小数是10

在丑数列表中添加 6 后，每个序列都有一个附加元素：

乘以 2，可能的丑数是 [-,-,-,8,10,12]
乘以 3，可能的丑数是 [-,-,9,12,15,18]
乘以 5，可能的丑数是 [-,10,15,20,25,30]

但是每个序列中有用的元素是：

乘以2，大于6的最小数是8
乘以3，大于6的最小数是9
乘以5，大于6的最小数是10

因此，您可以看到该算法正在创建三个丑陋数字序列。每个序列都是通过将所有现有的丑数乘以三个因子之一形成的。

但我们只关心每个序列中的最小数（大于目前发现的最大丑数）。

所以索引 i2、i3 和 i5 是对应序列的索引。当您使用序列中的数字时，您会更新索引以指向该序列中的下一个数字。

Answer 2

直觉如下：

• 任何丑数都可以写成2、3或5与另一个（更小的）丑数之间的乘积。

考虑到这一点，问题中提到的解决方案会跟踪 i2、i3 和 i5，即到目前为止生成的最小丑数，分别乘以 2、3 和 5 会导致一个尚未生成的数字。这些产品中最小的是尚未生成的最小丑数。

换一种说法，我认为问题中的以下陈述可能会引起一些混乱：

算法是为a保留三个不同的计数器变量 2、3 和 5 的倍数。假设 i2、i3 和 i5。

请注意，例如，丑 [i2] 不一定是 2 的倍数。它只是 2 * 丑 [i2] 大于丑 [i] 的最小丑数（已知的最大丑数）远）。

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关于下一步如何生成数字6，过程如下：

ugly = |1|2|3|4|5

  i2 = 2;
  i3 = 1;
  i5 = 1;

ugly[5] = min(ugly[2]*2, ugly[1]*3, ugly[1]*5) = min(3*2, 2*3, 2*5) = 6

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ugly = |1|2|3|4|5|6

  i2 = 3
  i3 = 2
  i5 = 1

注意这里 i2 和 i3 都需要在生成数字 6 后递增，因为 i2*2 和 i3*3 都产生了相同的 next最小的丑数。