帮助了解埃拉托色尼筛的实施答案

【问题标题】：Help understanding eratosthenes sieve implementation帮助了解埃拉托色尼筛的实施
【发布时间】：2011-05-22 15:33:04
【问题描述】：

我在这个网站上找到了 Eratosthenes 筛子的 LINQ 实现。我了解筛子的基本概念，但有一个细节我不明白。第一个 Enumerable.Range(0,168) 的作用是什么？

List<int> erathostheness = Enumerable.Range(0, 168)
.Aggregate(Enumerable.Range(2, 1000000).ToList(), (result, index) =>
{
    result.RemoveAll(i => i > result[index] && i % result[index] == 0);
    return result;
}).ToList();

【问题讨论】：

这不是埃拉托色尼筛法，它只会使用加法从数组中剔除合数； 它是一个试除素筛，因为它通过试除和测试非零余数来消除一个范围内的合数。它是一种优化版本，因为它只除以找到的素数。这不是一个精确的优化，因为它至少需要估计到范围平方根的素数数量（因为 168 是范围 1000000 到 1000 的素数数量）。更好的版本是here。

标签： c# linq sieve-of-eratosthenes

【解决方案1】：

这是运行筛子以从列表中消除所有非素数的次数。

result.RemoveAll(i => i > result[index] && i % result[index] == 0);

每次运行筛子时，这行代码都会取列表中的最小数字（result 尚未删除所有倍数的最小素数），然后删除所有倍数。这运行了 168 次，第 168 次列表中尚未筛选的最小数字是 997，这自然是第 168 个素数。

这只需要运行 168 次，因为所有数字都可以表示为素数列表的乘积，并且没有小于 1000000 的数字是第 169 个素数 (1,009) 的倍数，它不是低于 1009 的素数的倍数。通过筛选出尚未被移除的 1009 来移除的最小数字是1009 * 1013 = 1,022,117，或者第 169 个素数乘以第 170 个素数，这显然大于 100000，因此不会t 需要检查这组数字。

因此，当您到达该点时，所有 1009 的倍数都已从列表中删除，因此没有必要继续，因为您已经从列表中删除了所有非素数。 :D

【讨论】：

我们如何推广这段代码来找出所有小于 n 的素数？在这种情况下，168 的值是多少？
@Raj 将 1000000 替换为 n，并将 168 替换为 the prime counting function 在 sqrt(n) 评估。 TLDR：对于x>=17，1.25506 * x/(log(x)) 将大于素数计数函数，所以你可以使用它（当然是x = sqrt(n)）。

【解决方案2】：

小于 1000 的素数有 168 个。

如果x 小于1,000,000，并且x 不是质数，那么x 可以分解为质数p1, p2, ..., pn。这些因素中的至少一个必须小于1000，否则产品将大于1,000,000。这意味着至少有一个因子必须是前 168 个素数之一。

【讨论】：

谢谢你，A+。您是否碰巧知道这是为什么或有来源？
@Dan，我更新了我的答案。如果还是不清楚，能否指出我需要详述的部分？